Економетрія

Приклад. Для вищеперерахованих даних, використовуючи степінну залежність  , розраховуємо її параметри і робимо прогноз на найближчий період. Для визначення параметрів рівняння розрахунки зводимо в табл. 4.2

 

 

Таблиця 4.2 - Розрахунок статистичних характеристик рівняння.

Ytln tln t2ln Ytln Yt ln t 

Ytεε2

165,90,000,001,81890,001,803563,62,35,29

266,90,30100,09061,82540,54941,821166,240,660,44

369,10,47710,22761,83950,87741,831467,321,281,64

467,50,60210,36251,82931,10141,838768,98-1,482,19

568,20,69900,48861,83311,28131,844369,88-1,682,82

669,90,77820,60561,84451,43541,849070,130,730,53

770,90,84510,71421,85051,56391,852471,19-0,290,08

872,90,90310,81561,86271,68221,856671,881,021,04

972,10,95420,91091,85791,77281,859372,33-0,230,05

1072,81,0001,001,86211,86261,862072,88-0,080,00

1172,81,04141,08451,86211,93921,864473,16-0,360,13

1273,21,07921,16471,86452,01221,866673,52-0,320,12

∑8,68247,464822,150616,095914,32

Система нормальних рівнянь має видгляд:

 (4.7)

Підставивши відповідні значення з табл.. 4.2, отримаємо

 (4.8)

Вирішивши систему рівнянь, одержимо:

α=0,0585,       lna=1,8035.

Маємо рівняння:

 (4.9)

Прогноз на 13 і 14 періоди складе: Y13=72,83;  Ym=73,02.

Середній квартал відхилення вихідних значень від розрахункових (дисперсія)

 (4.10)

а середні квадратичні відхилення   що в порівнянні з середнім розміром складає    

Проте зазначимо, похибки апроксимації особливо великі на кінцях базисного періоду, що обумовлюють велику помилку прогнозу. Можна сказати, що залежність підібрана невдало.

Якщо протягом базисного періоду процес, що вивчається, суттєво змінився в результаті появи нових чинників (сезонні коливання), то для апроксимації тимчасового ряду слід скористатися двома або більш окремими аналітичними виразами, розглядаючи їх як частини науково – безперервної функції. При цьому прогнозування проводиться за останньою дугою і необхідно уточнити, який допустимий інтервал прогнозування. Факт істотності змін для показника слід встановлювати як якісно, так і статистично.

Можна скористатися і графічним способом: побудувавши три тренди по кожному періоду в цілому по всьому ряду, порівняти графічно, на скільки близько загальний тренд огинає обидва приватних.

Статистична перевірка може бути здійснений наступним прикладом дисперсійного аналізу. Нехай значення показника до і після деякого моменту задані рядами:

 11, 12... 1h1;(4.11)

 21, 22... 2h1.(4.12)

з середніми значеннями і дисперсіями, визначуваними по формулах

;  (4.13)

Обчислюємо загальну середня і загальну дисперсію з'єднаного ряду

;  .(4.14)

Розчленовувавши повну дисперсію ряду на частини, одержуємо

(4.15)

Враховуючи число ступенів свободи кожної з сум в рівнянні, позначаємо

;  .(4.16)

Відношення   порівнюємо з відповідним значенням розподілу Фішера. Якщо  < F5%  [1, n-2] при рівні значущості 5% вважаємо періоди, що вивчаються, не істотно різними у значенні даного показника  . Якщо  < F5%  [1, n-2] при рівні значущості 1% вважаємо періоди, що вивчаються, суттєво різними за показником   і будуємо тренд з двох частин, різних тільки за параметрами або видом функції d(t).

Приклад. Методику обробки рядів динаміки за наявності сезонних коливань можна проілюструвати на прикладі собівартості пасажироперевезень одним з тролейбусних рівнянь за період 1998-2003рр. Виявлення загальної тенденції на підставі даних табл. 4.3 починаємо з побудови графіка.

Таблиця 4.3 - Динаміка статистичних показників

Роки

tЗначення показника, С, коп.Квартал

IIIIIIIV

1998158,7162,356,8859,3456,72

1999260,1362,7858,3560,8458,78

2000360,8363,4757,8862,5859,4

2001465,7069,5263,0263,8966,51

2002566,0867,2362,9965,6567,54

2003666,7668,5960,5666,0068,29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.2 – Динаміка собівартості пасажироперевезень

В цьому прикладі (рис. 4.2) спостерігається різкий перелом характеру змін в 2000 р. Тому неможливо підібрати єдину математичну функцію зростання, задовільно апроксимуючу дані про собівартість пасажироперевезень за всі роки. У зв'язку з цим розбиваємо тимчасовий діапазон на дві частини - 1998-2001 рр. і 2001-2003 рр. Для першого ряду підбираємо експоненту, для другого - експоненту з  насиченням. При визначенні параметрів рівнянь використовуємо розрахунки, зведені відповідно в табл. 4.4. і 4.5.

Таблиця 4.4 - Розрахунок параметрів експоненти

РокиYℓnytV= ℓny-1,78Vtt2 

ℓny=1,78+ 

 

εε2β%

199858,711,77610-0,003900-0,0131,778760,08-1,371,882,28

199960,131,77911-0,0004-0,00410,00211,782160,53-0,40,160,66

200060,831,784120,00410,008240,01551,795562,44-1,612,592,57

200165,701,817630,03760,118290,02891,808964,401,31,692,01

∑60,03740,1206146,32

 

Таблиця 4.5 - Розрахунок параметрів експоненти з насиченням

РокиYℓnytt1=t-2V= ℓny-1,82 

 

 

 

ℓny=

1,82+ 

 

εε 2β%

200165,71,817631-0,00241-0,0241-0,00841,811664,80,90,811,388

200265,081,82420,0000,500,000,2500,00331,823366,58-0,50,250,75

200366,761,8245530,00450,3330,00150,1110,00721,827267,16-0,40,160,59

∑0,00211,833-0,00091,3611,22

 

Системи нормальних рівнянь

 ;  .(4.17)

Звідки

ℓna =-0,0113, a= 0,0134;ℓna1 =0,015, а1= -0,0234;

V = -0,0113+0,0134 t;V1=0,015 -  .

Тоді одержуємо

ℓn  t = 1,7687 + 0,0134 t;ℓn   t = 1,835 -  ;

 =58,70,0134 t 0 ≤ t ≤ 3;  t    3≤ t ≤ 5

max β% = 2,58;max β% = 1,388.

Апроксимація цілком задовільна.

Для 2001 р. приймаємо значення собівартості

  = 64,60.

Прогноз на 2004 р. При t=6

ℓnу = 1,835 -   = 1,829,    = 67,49.

Проте через сезонні коливання прогнозування за сумарними річними даними є абсолютно недостатнім. Тому необхідно прогнозувати за окремими періодами, в даному прикладі за вихідними квартальними даними.

4.3. Авторегресійні моделі прогнозування

Методика прогнозування цінна в тому випадку, якщо вона