Економетрія

Авторегресією називається рівняння, що визначає змінну Хj у момент t (або t-й період) через її значення в попередні періоди: (t-1) (t-2)... (t-к). Лінійне авторегресійне рівняння записуємо у вигляді

Хt = а1 Хt-1 + а2 Хt-2 +      + ак Хt-к.(4.18)

Першим етапом дослідження тимчасового ряду змінної Х є виділення загальної тенденції у вигляді функції d(t) і визначення залишків εt у формі εt = Хt - d(t) чи εt = d(хt).

Якщо залишки εt незалежні, тобто не можуть бути представлені як функція часу, то функція d(t) охоплює повністю еволюційну складову змінної Хt. При цьому залишається знайти закон їх розподілу εt і, прийнявши гіпотезу про збереження цього закону розподілу на прогнозований період, побудувати довірчий інтервал для прогнозованої величини Хt за функцією d(t). Якщо ж залишки εt залежні, тобто містять деяку тенденцію, то її можна виявити за допомогою коефіцієнта автокореляції. Проводячи зсув значень εt  на один рядок і останнє значення переміщаємо на перше місце, одержуємо табл. 4.6.

 

Таблиця 4.6 – Залишки змінних ряду динаміки

εtεt-1

ε1εn

ε2ε1

ε3ε2

……………………..

εnεn-1

 

Обчислюємо циклічний коефіцієнт кореляції між рядами εt і εt-1 за формулою

r(εt, εt-1) =   .(4.19)

Ця формула (4.19) виходить із звичайної формули для визначення коефіцієнта кореляції, якщо покласти

∑ εt = ∑ εt-1 = 0;(4.20)

∑ (εt -1)2 = ∑ (εt)2 .(4.21)

Формула (4.20) виходить з того, що параметри функції d(t) визначаються за методом якнайменших квадратів, а формула (4.21) - з циклічної табл. 4.6.

Аналогічно, зсовуючи εt на 2,3….К рядків, одержуємо циклічну таблицю послідовних відхилень

Таблиця 4.7 - Циклічна таблиця послідовних відхилень

tεtεt-1εt-2………εt-к+1εt-к

1ε1εnεn-1εn-k+2εn-k+1

2ε2ε1εnεn-k+3εn-k+2

3ε3ε2ε1εn-k+4εn-k+3

….….….….….….

Кεkεk-1εk-2ε1εn

К+1εk+1εkεk-1ε2ε1

К+2εk+2εk+1εkε3ε2

…..…..….….….….….

nεnεn-1εn-2εn-k+1εn-k

За даними табл. 4.7 визначаємо всі циклічні коефіцієнти автокореляції: 

r(εxt εxt-j) =   , i, j = 1,2,…..K;(4.22)

r(εxt-1 εxt-j) =  .(4.23)

Циклічний коефіцієнт автокореляції не підпорядковується нормальному закону розподілу, його розподіл асиметричний, суттєві величини коефіцієнтів автокореляції при певному рівні значущості різні для позитивних і негативних його значень. 5% - й і 1% - й рівні значущості коефіцієнтів автокореляції подані в спеціальних таблицях. Знайдені значення r1, r2… rn-к-1 перевіряємо по таблиці 5% - х і 1% - х рівнів вірогідності коефіцієнтів автокореляції. Якщо | rстат. (n) | < | r5%. (n) |, то приймаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків εt; якщо        | rстат. (n) |  >  | r1%. (n) |  відкидаємо гіпотезу їх неавтокорельованості.

За циклічними коефіцієнтами автокореляції складаємо матрицю і її обертаємо. Як і в разі звичайної регресії багаточинника, перевіряємо наявність мультиколінеарності кожного з чинників εxt-j, j=1,2-k від сукупності інших і зберігаємо тільки лінійно незалежні  аргументи.

Будуємо лінійну авторегресійну модель

εt = а1 εt-1 + а1 εt-2 + ….+ ак εt-к,(4.24)

що виражає εt в період t за допомогою значень εt-j, j = 1,2…К за К попередніх періодів. При цьому в рівнянні повинні бути збережені тільки суттєві і лінійно незалежні коефіцієнти.

Якщо виявляються аj – коефіцієнти, що не задовольняють вказаним вимогам, то модель потребує перерахунку (починаючи з розрахунку автокореляційної матриці більш низького порядку).

Оскільки параметри рівняння тренда визначали за методом найменших квадратів, то в разі його коректного підбору відповідні відхилення підкоряються нормальному розподілу, і, отже, рівняння регресії можна відшукувати в лінійній формі

ℓn Xt = a1 ℓn Xt-1 + a2 ℓn Xt-2 +…….+ak ℓn Xt-k + F(t);(4.25)

Xt = a1 Xt-1   + a2 ℓn Xt-2 +……..+ an Xt-k  + F(t).(4.26)

Яким повинне бути число членів рівняння, це питання слід вирішувати в поєднанні професійних вимог процесу, що по суті вивчається, з математико-статистичними критеріями. Так, якщо статистичний ряд містить тижневі дані, то особливий інтерес являє чотиричленна модель залежності рівня показника від тижневих рівнів за весь попередній місяць. У разі місячних даних цікава тричленна авторегресія, а для даних, зібраних по роках, – п’ятичленна.

Статистичні критерії покликані встановити відсутність автокорельованості залишків від віднімання з табличних значень  εt їх розрахункових значень 

ηt = εt – (a1 εt-1 + a2 εt-2 +…+ ak εt-2k).(4.27)

Існує декілька статистичних критеріїв. Один з них заснований на порівнянні середнього квадрата послідовних різниць ηt:

   .(4.28)

З дисперсією величини

  (4.29)

 

Складаємо відношення середнього квадрата послідовних різниць, до середнього квадрата самих величин:

К =  .(4.30)

Якщо Кстат., потрапляє в допустиму область при рівні значущості 5%, а саме К5% (n-k) < Кстат (n-k) < К15% (n-k), то приймаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків ηt, а, отже, і достатності числа членів К авторегресійної моделі.

Якщо ж Кстат (n-k) < К% (n-k) або Кстат > К1% (n-k), то відкидаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків ηt і рахуємо число членів