Математичне моделювання безконтактної рівноваги магнітних систем

 

Питання щодо безконтактної статичної рівноваги тіл, взаємодіючих за допомогою далекодіючих сил, ставилось неодноразово, але до цього часу залишається відкритим. Невідомо жодного загального підходу до знаходження стійкої рівноваги у таких системах. Навпаки, є декілька теорем, що заперечують можливість такої рівноваги. Перша та найвідоміша з них - це теорема Ірншоу, що відкидає можливість стійкої статичної рівноваги у системі точкових електричних зарядів. Інші теореми розповсюджують її на випадок заряджених тіл (Браунбек, Стреттон, Смайт, Тамм). 

На сьогодні залишаються невідомими теореми, що заперечують існування безконтактної статичної рівноваги у магнітних системах. У зв'язку з цим природнім є питання: чи можлива стійка статична рівновага тіл, що взаємодіють виключно магнітними силами? 

Якщо існує конфігурація магнітних тіл, у якій здійснюється така статична рівновага, то її можна назвати магнітною потенційною ямою (МПЯ). 

Актуальність теми. Відсутність конкретних конфігурацій з МПЯ і загальних підходів до її знаходження та наявність відомих теорем в електростатиці роблять проблему існуванні МПЯ актуальною за фізичної і математичної точки зору. Близька до неї проблема магнітної левітації має важливе науково- технічне значення, однак і в ній досі природу стійкості магнітнолевітуючих систем теоретично вивчено недостатньо. 

Впровадження таких безконтактних підсистем, у тому числі на основі високотемпературної надпровідності, до електротехнічних силових та керуючих систем вимагає теоретичної основи. Теоретичні роботи (Уайта-Вудсона, Козоріза та інш.) не дають загального апарату для опису змішаних систем, що включають як постійні магніти, так і надпровідні котушки, тобто є необхідність у створенні нових математичних моделей, що адекватно описують розширений клас електро-механічних систем.

Мета та задачі дослідження. Основною метою роботи є створення нових математичних моделей для опису магнітно-взаємодіючих систем і доведення існування МПЯ, а також виявлення і математичний аналіз фізичних механізмів забезпечення стійкості у системах з МПЯ та магнітною левітацією.

Для досягнення цієї мети вирішуються наступні задачі: 

модифікація лагранжевого формалізму для опису розширеного класу електромеханічних систем, що включають постійні магніти та надпровідні котушки; 

отримання нових аналітичних формул для взаємної індуктивності, силових та енергетичних характеристик систем, що складаються з провідних контурів кільцевої форми, довільно орієнтованих один до одного, та розробка алгоритмів, щодо їх обчислення; 

розробка достатнього набору символьних та числових інструментів для аналізу стійкості систем, що досліджуються; 

дослідження стійкості у системах, що складаються з надпровідних котушок та постійних магнітів, і є перспективними з точки зору реалізації МПЯ або магнітної левітації;

визначення скалярного потенціалу та поля магнітного диполя всередині надпровідної сфери, а також знаходження магнітної потенційної енергії взаємодії диполя з внутрішньою поверхнею надпровідної сфери та дослідження стійкості рівноваги у такій системі.

Методи дослідження. Для виведення лагранжевого формалізму та знаходження функції Лагранжа, що описує взаємодію класу систем, що розглядається,  використовувалися методи аналітичної механіки. 

Для доведення теореми про неможливість стійкої рівноваги у системі магнітних диполей та при вирішенні задачі щодо левітації магнітного диполя всередині надпровідної сфери використовувались також методи математичної фізики та теореми теорії гармонічних функцій.

Наукова новина отриманих результатів. Приведено низку конструктивних доведень існування МПЯ для істотно різних конфігурацій магнітних тіл. Показано, що механізм забезпечення стійкості рівноваги в досліджених системах має кооперативний характер, тобто є пов'язаним  з взаємним впливом тіл системи за умови існування незгасаючих надпровідних струмів. Розроблено лагранжевий формалізм для опису взаємодії постійних магнітів та надпровідних котушок, який, зокрема, забезпечує універсальний спосіб отримання магнітної потенційної енергії у таких системах. Отримано нові формули для обчислення взаємної індуктивності лінійних провідників кільцевої форми. Проведено повне аналітичне дослідження стійкості нових математичних моделей МПЯ та магнітної левітації. Знайдено аналітичне розв'язання крайової задачі Неймана для магнітного диполя всередині надпровідної сфери. Доведено існування просторової МПЯ в центрі сфери та магнітної левітації у присутності однорідного поля сили тяжіння.

Достовірність результатів забезпечується збігом результатів та висновків дисертації, що базуються на запропонованій теорії з відомими експериментальними та теоретичними даними, які були отримані іншими авторами; співпаданням рішень задач, отриманих незалежно аналітичними та числовими методами, що базуються на різних підходах. 

Практична цінність дисертаційної роботи полягає у відкритті принципово нових можливостей для вирішення ряду технічних проблем у: 

космічній техніці: системи безконтактного утримання у невагомості; системи плавного стикування та захоплення; 

транспорті: системи магнітної левітації, що працюють у статиці та у динаміці;

енергетиці: швидкісні підшипники без тертя; 

точному машинобудуванні: гіроскопи, гравіметри, вага, SQUIDs та інш.;

прискорювачах твердих тіл, магнітних вловлювачах.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота за держбюджетною темою Г402-20/95- “Дослідження та створення надпровідних прискорювачів магнітних тіл та плазми нового покоління” вимагає розв'язання не тільки проблем технічного характеру, але також низки принципових фізичних задач динаміки систем, що складаються з електромагнітів та надпровідних котушок. Теоретичне дослідження таких систем вимагає створення нових математичних моделей  стабільних динамічних конфігурацій магнітних тіл. Існують суттєві обчислювальні труднощі щодо теоретичної оцінки силових та енергетичних характеристик магнітної взаємодії елементів прискорюючої системи. Розв'язанню цих проблем присвячено один із пунктів третього розділу дисертації. Отримані результати використовуються при проведенні оціночних розрахунків у прискорювачах маси, що проектуються. 

Апробація результатів дисертації. Основні наукові та прикладні результати дисертаційної роботи пройшли випробування на конференціях, симпозіумах та наукових семінарах:  “40th Annual