Математичне моделювання безконтактної рівноваги магнітних систем

На відміну від попереднього випадку виведення достатніх умов не пов'язане із обмеженнями на величину зовнішнього магнітного поля. 

Чисельно доведено можливість існування МПЯ у системі, що складається із трьох тіл при відсутності зовнішнього магнітного поля. Перше з них повторює конструкцію нерухомого тіла у двох попередніх систем, а друге нерухоме тіло є надпровідним кільцем, яке співосне кільцю першого нерухомого тіла, що несе ненульовий магнітний потік. Третє - вільне - є надпровідним кільцем. Отримано конкретні значення параметрів, при яких є МПЯ.

У всіх описаних системах пошук МПЯ здійснювався шляхом перевірки гіпотези існування МПЯ у точці рівноваги. За цієї мети обчислювався гессіан потенційної енергії системи у точці рівноваги. Проводилося дослідження матриці гессіана на позитивну визначеність. Як незалежною перевіркою МПЯ проводилося пряме порівняння значення енергії у точці МПЯ з точками у її околиці. Вибір точок здійснювався випадковим чином (від ~1000 до ~10000).

У четвертому розділі поставлено задачу дослідження стійкості рівноваги магнітного диполя, що взаємодіє з внутрішньою поверхнею надпровідної сфери, і отримано її вичерпне аналітичне розв'язання. 

Для знаходження магнітної потенційної енергії взаємодії диполя з надпровідною сферою була вирішена крайова задача Неймана для скалярного магнітного потенціалу диполя всередині надпровідної сфери. 

Вирішення даної задачі було зведене до розв'язання допоміжної задачі про два заряди всередині надпровідної сфери, що значно спростило аналітичний розгляд. Одне джерело (“рухливе”) у точці з радіусом-вектором    , а друге (“компенсуюче”) у центрі і має протилежний знак.

Цей другий заряд створює через поверхню сфери   той самий потік, що й перший заряд, але іншого знаку, тому сумарний потік через сферу дорівнює нулю, що є умовою несуперечливості для крайової задачі Неймана. Вирішення допоміжної задачі шукалося у вигляді розкладання у ряди за сферичними функціями відповідно до викладеної в першому розділі математичної теорії. Використання паралелей із задачею Діріхле про електричний заряд всередині провідної сфери та з методом дзеркальних зображень дозволило записати отримані ряди у кінцевому вигляді через елементарні функції:

Формула (9) дає остаточне вирішення нашої допоміжної задачі. Безпосередня перевірка показує, що це рішення задовольняє як рівнянню Пуассона, так і граничним умовам  .

Отже вирішення основної крайової задачі (знаходження скалярного магнітного потенціалу диполя) отримуємо у результаті диференціювання знайденого потенціалу за радіусом-вектором   ”рухливого” заряду у напрямку магнітного моменту диполя:, де  - магнітний момент диполя.

Магнітне поле диполя знаходиться за допомогою взяття градієнта зі  знаком мінус від отриманого скалярного потенціалу за координатами точки спостереження  :.

Енергія взаємодії диполя з індукованим ним магнітним полем обчислюється за формулою   та приводиться до простого аналітичного виду:

Із формули (10) отримаємо вираз для радіальної та перпендикулярної до радіуса-вектора складової сили:

Формула (11) показує, що максимальне та мінімальне значення радіальна сила досягає при   та  . Із формули (11) також видно, що радіальна сила всюди спрямована до центру сфери незалежно від орієнтації, а у центрі сфери перетворюється на нуль також незалежно від  . Перпендикулярна складова сили (12) всюди дорівнює нулю при  , а у центрі перетворюється на нуль незалежно від  . Отже, центр сфери є положенням рівноваги диполя. Різниця між енергією у деякій довільній точці та енергією у центрі сфери має вигляд:  

та задовольняє нерівностям :

Таким чином, будь-яка зміна просторової координати диполя обовўязково призводить до збільшення магнітної потенційної енергії у співвідношенні із вихідною, а при   енергія прямує до   рівномірно по  .

Таку поведінку потенційної енергії можна назвати просторовою МПЯ, оскільки диполь утримується поблизу центра сфери незалежно від його орієнтації.

Вирішення цієї задачі дозволило вирішити основну задачу щодо левітації магніта над вогнутою поверхнею надпровідної чаші. Експериментально така конфігурація магнітних тіл була здійснена в досліді Аркадьєва-Капіци. 

Поверхня чаші моделювалася сегментом сфери. Оскільки при наявності сили тяжіння магніт наближається до поверхні сфери, а магнітна сила швидко зменшується, то взаємодія відбувається в основному із ділянкою сфери, розмір якої є порядку відстані від магніта до поверхні сфери. Таким чином крайовими ефектами можна знехтувати, а ідеалізована задача про взаємодію магнітного диполя із внутрішньою поверхнею надпровідної сфери описує істотні особливості даного досліду у випадку, коли відстань від магніта до поверхні значно менше відстані до центра сфери.

Вище показано, що для чисто магнітної взаємодії рівновага досягається у центрі сфери. У присутності однорідного гравітаційного поля магнітна сила   може бути урівноваженою силою тяжіння, направленою проти осі  .

При цьому, варіюючи співвідношенням магнітної та гравітаційної сили, рівноваги вздовж осі   можна досягти у будь-якій точці осі  , що проходить через центр сфери та лежить нижче центру. Як видно із формули (12), перпендикулярна до осі   складова сили обертається в нуль при  , тобто необхідні умови рівноваги виконуються для приведених значень кута  .

Розкладаючи повну енергію взаємодії у точці рівноваги в ряд Тейлора за змінними   та   до другого порядку включно, маємо:

Завдяки лінійній залежності потенційної енергії сили тяжіння від координати   вона не дає вкладу у другий порядок цього розкладання, тому достатньо врахувати розкладання магнітної енергії до другого