Математичне моделювання безконтактної рівноваги магнітних систем

Публікації. Основні результати дисертації були опубліковані у 10 друкованих працях, із них 6 - статті у журналах та збірках наукових праць [1-6], 4 - тези наукових конференцій [7-10], перелік яких надається у кінці автореферату. 

Особистий внесок дисертанта. У роботі [1] дисертанту належить програмна реалізація та числове вирішення тестових задач, у [2]- модифікований варіант лагранжевого формалізму, у [3] - доведення існування МПЯ, у [4] - аналітичні формули магнітного скалярного потенціалу, магнітної потенційної енергії взаємодії диполя з внутрішньою поверхнею надпровідної сфери та доведення існування просторової МПЯ для диполя всередині надпровідної сфери, у [5] - аналітичні формули та алгоритми обчислення взаємної індуктивності, силових та енергетичних характеристик для систем провідних контурів кільцевої форми при їх довільній орієнтації один до одного, у [6-10] - алгоритми та їх програмна реалізація.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, а також додатків, що являють собою повний набір працюючих документів системи комп'ютерної алгебри MapleV. Повний об'єм дисертації становить 123 сторінки, у тому числі 10 рисунків та 45 найменувань літератури; об'єм додатків становить 67 сторінок.

 

 

У першому розділі поставлено проблему безконтактної статичної рівноваги і на основі аналізу літературних джерел показано, що вона може бути вирішеною тільки в класі магнітних  систем або систем, у яких поряд з магнітними силами діють сили іншої фізичної природи. Дано визначення магнітної потенційної ями та підкреслюється відмінність між магнітної левітацією та МПЯ. 

Приведено основні теоретичні та експериментальні результати, що стосуються проблеми безконтактної рівноваги, і на основі критичного аналізу дана оцінка внеску дослідників в розв'язання проблеми.  

Виділено основні фізичні ефекти, які можуть стати основою вирішення задач магнітної левітації та МПЯ, а саме, ефект МПЯ Козоріза та ефект діамагнітного відштовхування Браунбека. 

Показано, що незважаючи на експериментальні та теоретичні результати, що є у цій області, не один із них не є спростуванням сформульованої у літературі гіпотези про нестійкість магнітних систем, а тим більше не дає відповіді на питання про існування МПЯ. 

У другому розділі проведено порівняльний аналіз загального підходу, що базується на застосуванні апарату диференціальних рівнянь в частинних похідних для електромагнітного поля, та квазістаціонарного наближення, що зводить опис електромагнітної взаємодії між лінійними провідниками до апарату звичайних диференціальних рівнянь.

Зроблено висновок про те, що теоретико-польовий підхід вимагає вирішення крайової задачі Неймана для декількох, у загальному випадку многозв'язних магнітних тіл. Такий підхід практично виключає отримання точних аналітичних рішень. Однак для однозв'язного надпровідного тіла максимально симетричної простої форми (сфера), як відомо, можливо отримати вирішення у вигляді рядів за сферичними функціями, які сходяться , що і використано у третьому розділі для вирішення задачі про магнітний диполь всередині надпровідної сфери. 

Показано, що для дослідження стійкості у багатоелементних системах многоозв'язних тіл більш ефективним є квазістаціонарне наближення для електромагнітного поля , яке дозволяє звести задачу про систему з нескінченним числом ступенів свободи до задачі про систему з кінцевим числом ступенів свободи. 

Важливою перевагою квазістаціонарного наближення (у межах його застосування) є можливість лагранжевого опису динаміки лінійних провідників. Зокрема, у рамках лагранжевого підходу є можливість ввести потенційну енергію та обчислювати на її основі сили та моменти сил, що значно спрощує дослідження стійкості. 

Однією з основних характеристик магнітної взаємодії у квазістаціонарному наближенні є взаємна індуктивність тіл системи, через яку виражається потенційна енергія системи, а отже, і силові характеристики. Однак, для тіл довільної форми обчислення взаємної індуктивності становить складну задачу, тому запропоновано вибирати модельні тіла максимально простої симетричної форми, а саме, надпровідні кільця та магнітні диполі. 

Описується технологія прикладних математичних досліджень на основі використання системи комп'ютерної алгебри MapleV. Ця технологія дозволяє у процесі вирішення поставленої задачі отримати сукупність працюючих документів MapleV, які містять всі проміжні результати та взаємоперевірки, а набір розроблених інструментів дає основу для вирішення аналогічних задач. 

У третьому розділі була здійснена модифікація стандартного лагранжевого формалізму, викладеного в першому розділі, для опису розширеного класу модельних тіл, що включає до себе як магнітні диполі, так і ідеально провідні контури. Ці об'єкти мають особливості, які погано враховуються існуючим варіантом лагранжевого формалізму.  

Показано, що постійність магнітного моменту диполя при його моделюванні петлею зі струмом може трактуватися як голономно реономний зв'язок. Для використання лагранжевого підходу при описі такої системи необхідно врахувати зв'язки цього типу, тобто  виключити пов'язані з ними залежні змінні.  

Крім того, присутність у системі ідеальних провідних контурів призводить до циклічності відповідних електричних координат. Проте відповідні циклічним координатам швидкості (струми) залежать від часу та входять явним чином до базових співвідношень стандартного лагранжевого формалізму. Для виключення