Математичне моделювання безконтактної рівноваги магнітних систем

Наведена система, яку ми отримуємо внаслідок врахування зв'язків та виключення циклічних координат, має функцію Лагранжа, що залежить тільки від механічних позиційних координат та швидкостей. Таким чином, даний варіант лагранжевого формалізму дає універсальний спосіб отримання магнітної потенційної енергії систем цього класу: 

 - симетрична квадратна матриця індуктивностей контурів із заданим струмом  , що є моделлю постійного магніту;

 -прямокутна матриця індуктивностей, що описує взаємодію контурів різного типу та відповідає правому верхньому блоку вихідної матриці індуктивностей  , де   у системі   контурів, з котрих   контурів надпровідні, а   контури із заданими струмами;

 - постійні струми, що відповідають постійним магнітним моментам;

 - інтеграли руху, що відповідають замороженим у надпровідних контурах потокам;

 - потенційна енергія немагнітного походження;

Стисло викладено концепцію Герца про кінетичне походження потенційної енергії. Не вдаючись у філософські аспекти цієї концепції, зазначимо, що формально математично магнітна взаємодія у нашій системі повністю відповідає принципу Герца. 

На основі формули (1) виведено магнітну потенційну енергію низки конфігурацій магнітних тіл, які досліджено на стійкість у другому розділі. 

Доказано теорему про неможливість стійкої рівноваги у системі магнітних диполів, що взаємодіють виключно  магнітними силами.

Теорема. Не існує такої конфігурації нерухомих магнітних диполів, що була б стійкою, якщо в системі немає інших сил, крім сил магнітної взаємодії між диполями системи.

Аналіз виду потенційної енергії системи диполів

показує, що величина   у термінах теорії сферичних функцій є квадруполем (мультиполем другого порядку).

Звідси випливає, що   являє собою гармонічну функцію, якщо її розглядати як функцію положення будь-якого з диполів при фіксованій орієнтації цих диполів. Як і в теоремі Ірншоу, доведення будується від супротивного, тобто, припускається, що у такій системі можлива стійка статична рівновага, а потім, використовуючи лише вище перераховані особливості функції потенційної енергії взаємодії диполів, отримуємо нерівність 

Тобто, доведено, що у будь-якій як завгодно малій околиці вихідної точки   існує деяка точка  , для якої потенціальна енергія системи менше вихідної. Отже, у початковій точці система не досягає мінімуму потенційної енергії, тобто, не може знаходитися у стійкій рівновазі всупереч зробленому припущенню.

Виведено нові вирази та розроблено алгоритми обчислення взаємної індуктивності модельних тіл та її похідних до другого порядку включно для випадку довільно розташованих кілець. Важливість цих результатів для опису класу моделей була обгрунтована у першому розділі. 

За цієї мети було виведено зручну розрахункову формулу для взаємної індуктивності у вигляді розкладання у подвійний ряд за ступенями відношення радіусів кілець до відстані між їх центрами: 

Засобами комп'ютерної алгебри, що реалізовані у системі комп'ютерної алгебри MapleV, були отримані ефективні процедури знаходження цих поліномів (5), як у символьному вигляді, так і для чисельного розрахунку. 

Отримано вираз взаємної індуктивності через однократний інтеграл, котрий дозволяє ефективно обчислювати взаємну індуктивність та її похідні і дає достовірні результати для будь-яких  .

Приведено символьну процедуру MapleV для обчислення підінтегральної функції взаємної індуктивності, що призначена для автоматичного диференціювання та дозволяє ефективно обчислювати взаємну індуктивність та її похідні з будь-якою заданою точністю. Таким чином, отримано достатній набір інструментів для дослідження стійкості вибраного класу моделей.  

Проведено дослідження низки конкретних конфігурацій магнітних тіл, у яких реалізується МПЯ або стійка магнітна левітація. 

У випадках, коли МПЯ принципово є недосяжною, система досліджувалася на можливість магнітної левітації. Показано, що у системах із МПЯ завжди є досяжною магнітна левітація, хоч зворотнє - невірно. 

Передумовою для пошуку МПЯ або магнітної левітації у всіх задачах цього розділу був ефект МПЯ Козоріза. 

Вперше проведено вичерпне аналітичне дослідження стійкості рівноваги у системі, що складається з надпровідного кільця та магнітного диполя, що знаходиться в однорідному полі сили тяжіння. Доведено, що у такій системі  магнітна левітація є виключно у вигляді магнітного підвісу. Є три незалежні умови: 

Отримано також вираз для магнітної сили на осі  :

Область стійкості у такій системі має вигляд (див. рис.1.)

Проведено числове моделювання магнітної левітації у системі, що складається з двох надпровідних кілець. 

Характерні результати числових експериментів по знаходженню областей стійкості представлено на рис.2-3 для різних значень параметрів   та  , 

Отримані результати підтверджують висновок (Козоріза та Чеборіна) про можливість магнітного підвісу у такій системі.

На рис.2 (а та б) побудовано криві 1-3 при значеннях  ,   та  ,   відповідно.

На рис.3 (а та б) побудовано криві 1-3 при значеннях  ,   та  ,  , відповідно.

Доведено існування МПЯ у системі двох многозв'язних тіл у зовнішньому однорідному магнітному полі. Перше складається з трьох механічно зв'язаних, але гальванічно розв'язаних, взаємно перпендикулярних та концентричних надпровідних кілець, а друге являє собою надпровідне кільце,  див. рис. 4.

Аналітично отримано необхідні та достатні умови існування МПЯ, причому необхідні умови рівноваги визначаються умовою реалізації ефекту Козоріза, а достатні мають вигляд:

Доведення існування МПЯ істотно спрощується у системі, що конструктивно повторює описану вище систему, але з постійним магнітом замість надпровідного кільця. Необхідні умови рівноваги, як і раніше, визначаються умовами реалізації ефекту Козоріза. Достатні умови полягають у тому, що