+3 8(066) 185-39-18
fПредмет:
Тип роботи:
Методичні вказівки
К-сть сторінок:
36
Мова:
Українська
цієї функції зображено на рис. 1.1, а. Визначимо яка вітка гіперболи є траєкторією точки. Відомо, що час t від'ємним не буває, тобто . Аналіз рівнянь руху точки ( ) дає, що і , тобто траєкторією руху точки є нижня вітка гіперболи (рис. 1.1, а). При , , , тому напрям руху точки очевидний і вказаний на рис. 1.1, а.
Кінематичні характеристики руху точки Таблиця 1.1
Закон або рівняння руху точкиШвидкість V
(м/с)Прискорення а
(м/с2)
Векторний спосіб
(1.1)
(1.2)
(1.3)
Координатний спосіб
(1.4)
Величина
, (1.5) , (1.6)
де напрям
(1.7)
Величина
, (1.8)
(1.9)
де напрям
(1.10)
Натуральний спосіб
(1.11)
(1.12)
де
(1.13)
(1.14)
або
, (1.15)
де
, (1.16)
. (1.17)
Зв'язок між різними способами задавання руху точки:
(1.18)
(1.19)
(1.20)
(1.21)
де V обчислюється за формулою (1.5).
б) Аналізуючи вихідні рівняння і , бачи¬мо, що в обох рівняннях аргумент у тригометричних функцій однаковий і тому , бо . Отримали рівняння прямої лінії, яка проведена через точки А(0; 3) та В(2; 0) - рис. 1.1, б. Визначимо чи вся пряма є траєкторією руху точки, пам'ятаючи що і , . З рівнянь руху точки маємо , , тобто траєкторією руху точки є відрізок прямої від точки А(0; 3) до В(2; 0) і навпаки.
в) У цьому випадку , , тому використаємо ві¬доме співвідношення . Маємо , але , тому , а це є рівняння параболи з вершиною (0; 4), графік якої зображено на рис. 1.1, в. Відомо, що , , тобто, , і траєкторією руху точки є частина параболи, для якої , (рис. 1.1, в – суцільна лінія ).
При , і точка знаходиться в положенні М (рис. 1.1, в); при с , , а це координати точки А на рис. 1.1, в. При с , , тобто точка повернулася в положення М і далі рухається до точки В(-3; -4), що відповідає с. Відбувається коливальний процес навколо положення М.
ПРИКЛАД 1.2. По заданих рівняннях руху точки:
x = 3 cos2 (t / 6) і y = 1 + 2 sin (t / 3) , (1.22)
де x, y в метрах, t в секундах, знайти рівняння траєкторії точки та накреслити її. Для моменту часу t1 = 1 с визначити:
-положення точки;
-напрям руху уздовж траєкторії;
-величини і напрямки швидкості, нормального, дотичного та повного прискорення; зобразити їх на рисунку;
-радіус кривизни траєкторії точки.
Розв'язання. Для знаходження рівняння траєкторії, по якій рухається точка, виключимо параметр t з рівнянь (1.22) .
Через те, що , тому і маємо , звідки ; крім того, . Враховуючи, що , отримаємо:
.
Це є рівняння еліпса з центром , і півосями , , який зображено на рис. 1.2. Враховуючи, що і , , маємо , , тобто, весь еліпс є траєкторією точки. Рух відбувається проти годинникової стрілки, в чому легко переконатися, послідовно підставляючи у задані рівняння , с і . Зображаєм точку М (2,25; 2,732) на рис. 1.2.
Величину і напрям швидкості визначаємо за формулами (1.5…1.7), враховуючи, що рух відбувається в площині :
, , ,
де d (3 cos2 (t / 6)) / d t = - 0,5 sin (t / 3);
d (1 + sin (t / 3)) / d t = cos (t / 3) / 3 .
При t = 1 с маємо Vx = -0,433 м/c, Vy = 0,167м/c,