Постановка задачи математического программирования

Отношение αкi › αк j будет означать, что по критерию К объект еi более предпочтителен, чем еj

Возможность сравнения объектов относительно одного критерия служит основой для выявления принципов сравнения их многомерных состояний Каждому объекту множества Е может быть поставлена в соответствие последовательность К состояний, оценок, взятых соответственно в Р1,Р2 … Рк..

Требуется обосновать сравнение между объектами и выбрать наилучший из них.

Следует отметить, что перечень К критериев (признаков эффективности), множества возможных состояний объектов по каждому критерию Рк и их количественные оценки могут быть, в частности, при реализации процедуры многомерной экспертизы. Соответственно, каждому i-ому объекту можно поставить в соответствие вектор оценок по всем К критериям (α1i, α2i, …. α кi,)

Принципы многомерного сравнения объектов.

Рассмотрим два объекта еi и еj и оценим принципы, которые позволят обоснованно утверждать, что один из них предпочтительнее другого.

Очевидно, что если существует такой объект еi, для которого оценка αКi для любого критерия К больше либо равна соответствующей оценке αКj объекта еj , то тогда безусловно можно утверждать, что еi предпочтительнее еj.

Если же оценки объектов по разным критериям противоречивы, то для осуществления процедуры сравнения таких объектов можно предложить процедуру, которая базируется на особых принципах. Согласно этой процедуре необходимо всё множество критериев К разделить на два подмножества: Сij – множество критериев, согласно которым еi по крайней мере не хуже, чем еj; Дij - множество критериев, для которых это утверждение не выполняется.

Для оценки степени соответствия различных критериев нашей гипотезе, вводится показатель соответствия сij

Показатель соответствия рассчитывается по формуле:

 

сij =  

 

Этот показатель обладает свойствами:

 

1. 0 ≤ сij ≤1

2. сij = 1 если αКi ≥ αКj для всех К.

 

Показатель соответствия рассчитывается для каждой пары объектов еi и еj.

Результаты таких расчётов могут быть представлены в таблице n х n, каждый элемент которой сij есть показатель соответствия предположению, что объект еi предпочтительнее еj.. Для осуществления процедуры сравнения необходимо учесть и критерии, противоречащие введённому предложению, что объект еi по крайней мере не хуже объекта еj. С этой целью рассчитывается так называемый показатель несоответствия dij(s). Для его получения необходимо:

1) вычислить разности между оценками объектов αКi и αКj для к из множества Дij и упорядочить полученные отклонения в невозрастающую последовательность;

2) определить показатель несоответствия dij (s), как –ый элемент построенной последовательности.

Очевидно, что такое определение показателя несоответствия, например, для s = 2 эквивалентно исключению из рассмотрения критерия с самым большим несоответствием, для s = 3 – исключению двух критериев с наибольшими несоответствиями и т.д. 

Значения показателей Дij несоответствия для всех пар (еi ,еj) могут быть представлены в таблице n х n Дij(s).

Принцип сравнения объектов по нескольким критериям 

Зафиксируем значение параметра s, затем задаём два числа с – порог соответствия и d – порог несоответствия и говорим, что согласно К критериев и порогов с и d объект еi предпочтительнее еj , если и только если пара (еi ,еj) приводит к показателю соответствия сij ≥ с и показателю несоответствия dij (s) ≤ d.

Предпочтение, определённое таким образом удобно представить в виде графа, вершинами которого являются элементы множества Ε ={ еi}, а дуги выражают отношения предпочтения своим направлением от еi к еj , если еi предпочтительнее еj .

 

Т.е. G (c, d, s) = [Ε, U(c, d, s)]

 

где Ε – множество вершин графа, соответствующее множеству рассматриваемых объектов; U(c, d, s) – множество дуг графа: 

дуга ( еi ,еj) U(c, d, s)  сij ≥ с , dij (s) ≤ d.

Очевидно, что чем меньше требования к значениям с и d, тем богаче дугами соответствующий граф. Однако, сравнение и выбор, проводимые на основе очень слабых требований к с и d могут не отразить реальную ситуацию выбора. Поэтому необходимо последовательно и постепенно ослаблять требования к параметрам c, d, s и анализировать возникающие связи.

Таким образом, для каждой тройки (c, d, s) можно построить U(c, d, s), при этом множество вершин графа Ε может быть разделено на два непересекающихся подмножества Ĕ и (Ε – Ĕ).

Подмножество Ĕ таково, что всякий элемент, не включенный в Ĕ будет превзойдён, по крайней мере, одним элементом, принадлежащим Ĕ . Это свойство называется свойством внешней устойчивости подмножества Ĕ. Другое свойство этого подмножества Ĕ заключается в том, что никакой элемент Ĕ не превосходит другого элемента Ĕ , т.е. элементы Ĕ несравнимы между собой при заданных (c, d, s). 

Подмножество вершин графа, которое обладает этими двумя свойствами, называется ядром графа. Подмножество Ĕ может иметь различное число элементов. Если для заданных параметров (c, d, s) ядро включает очень много элементов – это означает, что антагонизм критериев таков, что это не позволяет сравнивать объекты при этих параметрах. Уменьшение требовательности к порогам c, d