Постановка задачи математического программирования

 

K(ai)=max∆ Кij

Kопт=min (max∆ Кij)

 

Матрица потерь

а\к к1 к2 к3 к4 к(аi)

а1 190 60 0 0 190

а2 140 0 1760 1720 1760

а3 15380 5450 0 2040 15380

а4 14990 15230 2500 0 15230

 

Оптимальное решение – вариант а3.

Комментарий: критерий отражает сожаления по поводу того, что выбранная система не оказалась лучшей при определении состава обстановки. Например, если выбрать программу а1, а угрозу n3, то сожаление, что не выбрана лучшая из программ а3 составит 15380.

Таким образом, эффективность систем в неопределенных операциях может оцениваться по ряду критериев. На выбор каждого из них может влиять ряд факторов:

а) природа конкретных операций и ее цель 

- в одном случае допустим риск

- в другом - гарантированный результат

б) причина неопределенности 

- закон природы

- разумные действия противника

в) характер лица, принимающего решение:

- склонность добиться большего, идя на риск

- всегда осторожные действия

Результаты всех расчётов записываются в одну таблицу.

 

Таблица 5.1

Форма записи результатов

а\к к1 к2 к3 к4 Ср. выигр Лапласа Вальда Гурвица Севиджа

а1 3050 3180 3240 3210 2825 3170 3050 3164 190

а2 4270 4410 2650 2690 3221 3505 2350 3706 1760

а3 3690 13620 19070 17030 9854 13853 3690 12918 15380

а4 2570 2330 15060 17560 8035 9380 2330 11468 15230

 

 

В процессе принятия решений часто необходимо вербальное описание проблемы преобразовать в формальное описание задачи и затем использовать известный метод её решения.

Для того, чтобы возникла задача, необходимо определить допустимую область решений, определить факторы, влияющие на это решение. Для формализации задачи нужно определить количественные зависимости между факторами и результатами; в совокупности они образуют ограничения на деятельность системы. При постановке экстремальной задачи, среди ограничений выделяют одно или несколько и используют их в качестве критерия (простого или сложного, сконструированного из нескольких).

В результате постановка задачи математического программирования сводится к формированию ограничений деятельности системы, которые затем разделяются на критерии и ограничения. Критерий позволяет оценить решения и определить лучшее из них. 

Постановка задачи сводится к переводу словесного описания ситуации в формализованное, в котором определяется переменная, ограничения и целевая функция. 

Постановка любой задачи заключается в том, чтобы перевести их словесное описание в формальное. Широкое распространение получили модели математического программирования.

Задача математического программирования состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, переменные которой принадлежат некоторой области допустимых значений. Наиболее наглядными являются задача линейного программирования (ЗЛП) и транспортная задача.

ЗЛП состоит в определении минимального или максимального значения целевой функции; целевая функция и ограничения и представляют собой линейные неравенства.

 

(F(х) =  ) Max

 i = 1….k

xj  0,

 

aij , bi, ci - заданные постоянные величины

Чтобы решить эту задачу, нужно найти такой вектор Х = (x1, x2,… xк) 

(набор переменных величин xj), чтобы он доставлял максимальное значение целевой функции F (х)

В трёх цехах изготавливаются два вида изделий. 

aij – загрузка j-го цеха при изготовлении изделий, %

ci - прибыль от одного изделия вида i, руб.

Сформулировать ЗЛП, чтобы определить, сколько изделий каждого вида следует производить при возможно полной загрузке цехов, чтобы получить максимальную прибыль. Загрузка цехов представлена в таблице.

 

Таблица 6

Загрузка цехов

Изделие (j) № цеха (i) Цена изделия

1 2 3

1 15 13 7 256

2 14 12 8 144

Максимальная загрузка 100% 100% 100%

 

Решение:

В соответствии с вопросом, сформулированным в задаче, в качестве переменной величины выступит объём производства изделий каждого вида. Тогда:

Х1 - объём производства изделий 1-го вида

Х2 - объём производства изделий 2-го вида

 

Выручка от продажи

Изделие (j) № цеха (i) Цена изделия Выручка от продажи

1 2 3

1 15 13 7 256 8960

2 14 12 8 144 4896

Максимальная загрузка 100% 100% 100% 13856

 

Постановка задачи ЗЛП:

8960Х1 + 4896Х2  max (максимизировать совокупную прибыль от производства изделий обоих видов)

15Х1 + 13Х2 + 7Х3  8960 - ограничение на потребление материалов 1-го вида

14Х1 + 12Х2 + 8Х3  4896 - ограничение на потребление материалов 2-го вида

Х1, Х2  0 - изделия должны производиться.

 

 

1. Ахундов В.М. Системный анализ в экономических исследованиях. - М.,1987.

2. Волкова В.Н , Денисов А.А. Основы теории систем и системного анализа. - СПб.: СПбГТУ, 1997.

3. Моисеев Н.Н. Математические методы системного анализа. - М.: Наука, 1984.

4. Перегудов ФИ., Тарасенко Ф П. Введение в системный анализ. - М.: Высшая школа, 1989.

5. Системный анализ в экономике и организации производства: Учебник. - Л.:Политехника, 1994.

6. Д. Уотермен. Руководство по экспертным системам. - М.: Мир, 1989.

7. Черняк Ю.И Системный анализ в управлении экономикой. - М.: Экономика, 1975.

8. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебн. пос. для ВУЗов / Под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 1999.

9. Корешева Т.В. Основы системного анализа: Методическое пособие.- СПб:СПбГАСЭ,2002.

10. Шистеров И.М. Системный анализ: Учебн. пособие. - СПб.: СПбГИЭА, 2000.

11. Бешелев С.Д., Гуревич Ф.Г. Математико-статистические методы экспертных оценок. - М.: Статистика,1980.

12. Бондаренко И.Н. Методология системного подхода к решению проблем:история, теория, практика-СПб.: Изд-во СПбУЭФ. 1997.

13. Демченков В.С., Милета В.И. Системный анализ деятельности предприятия. - М.: Финансы и статистика, 1990.

14. Диалектика и системный анализ / Отв. ред. Д, Гвишиани. - М., 1986.

15. Евланов Л.Г., Кутузов В.А Экспертные оценки в управлении. - М.: Экономика, 1978.

16. Ефимов В.М. Имитационная игра для системного анализа управления экономикой. - М., 1988.

17. Карэсев А.И. и др. Математические методы и модели в планировании: Учеб. пос. для экон. вузов - М.: Экономика, 1987.

18. Катков А.Л. Игровая модель выбора перспективных изделий. - Л.: ЛФЭИ,1981.

19. Кунц Г., О. Доннел С. Управление: системный и ситуационный анализуправленческих функций: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1981.

20. Литвак Б.Г. Экспертная информация: методы получения и анализа. - М :Радио и связь, 1982.

21. Ногин В.Д., Протодьяконов И.О., Евлампиев ИИ. Основы теории оптимизации: Учебн. пос. - М.: Высш. школа, 1986.

22. Спицнадель В.Н. Основы системного анализа: Учебн. пособие. -СПб.: Изд.дом «Бизнес-пресса», 2000

23. Статистическое моделирование и прогнозирование: Учебн. пос. - М.: Финансы и статистика, 1990.

24. Теория систем и методы системного анализа в управлении и связи. В.Н.Волкова, В.А. Воронков, А. А. Денисов и др.- М.: Радио и связь, 1983.

25. 16. Ясин Е.Г. Экономическая информация. Методические проблемы. - М.: Наука, 1974.