Постановка задачи математического программирования

Предмет:

Тип роботи:

Контрольна робота

К-сть сторінок:

Мова:

Русский

Оцінка:

строгих требований к порогу несоответствия (уменьшение значения d с 0,3 до 0,2) приводит к введению в ядро графа элемента е6 (рис. е). Исследование изменений ядер графов в зависимости от изменения требований к параметрам согласования различных критериев (различных мнений экспертов) позволяет упорядочить рассматриваемые объекты.

ЗАДАНИЕ 5. Оценка сложных систем в условиях риска и неопределенности

Определенность или детерминированность процессов определяется тем, что определённой ситуации соответствует единственный исход, такая зависимость носит название функциональной. Примером функциональной зависимости является, например, связь между скоростью, временем и длиной пути.

S = V*T

Неопределенность возникает в том случае, когда ситуация имеет несколько исходов. О неопределенности говорят в случае, если вероятность каждого исхода неизвестна. Если можно оценить вероятность каждого исхода, то говорят об условиях риска.

Исследования показали, что в зависимости от характера неопределенности все модели по принятию решений можно разделить на игровые и статистически неопределенные. В игровых операциях неопределенность формируется за счет сознательных действий противника, для исследования таких операций используется теория игр.

В настоящее время нет универсального критерия по выбору решения для задач неопределенных статически. Разработаны лишь общие требования к критериям и процедурам оценки и выбора оптимальных систем.

Обычно задачи записываются в матрице вида:

а \ n n1 n k K (aj)

a m k 11 K mk

a = (а1…аm) – вектор управляемых параметров, определяющий свойства систем

n = (n1...nk) – вектор неуправляемых параметров, определяющий состояние обстановки.

Кij – значение эффективности системы аi для состояния обстановки nj

Наиболее часто в неопределенной ситуации используются критерии:

1. Среднего выигрыша

2. Достаточного основания (критерий Лапласа)

3. Осторожного наблюдателя (критерий Вальда)

4. Пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица)

5. Минимального риска (критерий Севиджа)

Решено организовать тренажерный зал. По прогнозным оценкам ожидается от 80 до 150 посетителей в день. Определить, сколько закупить тренажёров аi, если число посетителей kj. Матрица эффективности имеет вид (тыс.руб.)

Матрица эффективности имеет вид (руб).

а/к к1 = 80 к2= 110 к3= 130 к4= 150

а1= 8 3050 3180 3240 3210

а2= 11 4270 4410 2650 2690

а3= 13 3690 13620 19070 17030

а4= 15 2570 2330 15060 17560

1. Критерий среднего выигрыша

Предполагает задание вероятностей состояния обстановки Рi. Эффективность систем оценивается как среднее ожидание (мат. ожидание) оценок эффективности по всем состояниям обстановки. Оптимальной системе будет соответствовать максимальная оценка.

К = ∑ РiКij

Предположим, что вероятность посещения тренажерного зала

Р1 = 0,4; Р2=0,1; Р3=0,1; Р4=0,3

К(а1)=0,4*3050+0,1*3180+0,1*3240+0,3*3210=2825

К(а2)=0,4*4270+0,1*4410+0,1*2650+0,3*2690=3221

К(а3)=0,4*3690+0,1*13620+0,1*19070+0,3*17030=9854

К(а4)=0,4*2570+0,1*2330+0,1*15060+0,3*17560=8035

Оптимальное решение по данному критерию – вероятность посещения а3.

2. Критерий Лапласа (достаточного основания)

Предполагается, что состояние обстановки равновероятно, так как нет достаточных оснований предполагать иное.

К=1/к∑Кij,

для каждого i, а оптимальное значение указывает максимальную сумму К.

Р1=0,25; Р2=0,25; Р3=0,25; Р4=0,25

К(а1)=0,25*(3050+3180+3240+3210)=3170

К(а2)=0,25*(4270+4410+2650+2690)=3505

К(а3)=0,25*(3690+13620+19070+17030)=13353

К(а4)=0,25*(2570+2330+15060+17560)=9380

Оптимальное решение - программа а3.

Замечание – критерий Лапласа – это частный случай критерия среднего выигрыша.

3. Критерий осторожного наблюдателя (критерий Вальда)

Это максимальный критерий (максимальные доходы, минимальные потери). Он гарантирует определенный выигрыш при худших условиях. Критерий использует то, что при неизвестной обстановке нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффекта каждой системы.

Для этого в каждой строке матрицы находится минимальная из оценок систем

К(аi) min Кij.

Оптимальной считается система из строки с максимальным значением эффективности

Копт=max (minKij) для всех ij

К(а1)=min(3050;3180;3240;3210)=3050

К(а2)=min(4270;4410;2650;2690)=2650

К(а3)=min(3690;13620;19070;17030)=3690

К(а4)=min(2570;2330;15060;17560)=2330

Оптимальное решение – вариант а3

В любом состоянии обстановки выбранная система покажет результат не хуже найденного максимина. Однако такая осторожность является в ряде случаев недостатком критерия.

4. Критерий пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица)

Критерий обобщенного максимина. Согласно данному критерию при оценке и выборе систем не разумно проявлять как осторожность, так и азарт. Следует принимать во внимание самое высокое и самое низкое значение эффективности и занимать промежуточную позицию. Эффективность находится как взвешенная с помощью коэффициента α сумма максимальных и минимальных оценок.

К(ai) = α max Kij+(1- α)*min Kij

Копт = max { α max Kij+(1+ α)*min Kij}

К(а1)=0,6*3240+(1-0,6)*3050=3164

К(а2)=0,6*4410+(1-0,6)*2650=3706

К(а3)=0,6*19070+(1-0,6)*3690=12600

К(а4)=0,6*17560+(1-0,6)*2330=11468

Оптимальное решение – вариант а3.

При α = 0 критерий Гурвица сводится к критерию максимина. На практике используются значения α из интервала (0,3÷0,7).

5. Критерий минимального риска (критерий Севиджа)

Минимизирует потери эффективности при наихудших условиях. В этом случае матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь. Каждый элемент определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце.

∆ Кij = maxKij - Kij

После преобразования матрицы используется критерий минимакса, т.е. оптимального