Задачі з вільними границями для еліптичних та параболічних рівнянь

Національна Академія Наук України

Інститут прикладної математики і механіки

 

Бородін Михайло Олексійович

 

УДК 517. 946

 

 

01. 01. 02 – диференціальні рівняння

 

 

Донецьк-1999

 

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано в Донецькому державному університеті Міністерства освіти України.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Борис Васильович Базалій, завідувач відділом рівнянь математичної фізики ІПММ НАН України доктор фізико-математичних наук, професор Сергій Павлович Лавренюк, завідувач кафедрою диференціальних рівнянь Львівського державного університету доктор фізико-математичних наук, професор Микола Карапетович Карапетянц, завідувач кафедрою диференціальних та інтегральних рівнянь Ростовського державного університету.

Провідна установа:

Інститут математики НАН України, м. Київ, відділ диференціальних рівнянь. Захист відбудеться “ 22 “ жовтня 1999. о 15 годині на засіданні спеціалізованої Ради Д 11. 193. 01 для захисту дисертацій на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 340114, Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

З дисертацією можно ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 340114, Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

 

 

Актуальність теми. Основним об’єктом нашого дослідження являються нелінійні задачі математичної фізики із вільними границями. Вони представляють математичні моделі процесів, для яких характерною особливістю є наявність різних за своїми характеристиками фаз, що розділяються невідомою вільною поверхнею. Такі процеси відбуваються в деяких сучасних металургійних технологіях (неперервний розлив сталі, електрошлаковий переплав), при утворенні та еволюцїї полярної криги, при вирощуванні монокристалів, в теорії пружності, гідравліці, в теорії горіння та деяких інших областях науки та техніки. Наявність вільної границі робить вказані математичні моделі суттєво нелінійними та особливо важкими для дослідження. Тобто з одного боку ми маємо змістовний математичний об’єкт, а з другого боку – об’єкт, який має численні застосування. Будь яка коректно поставлена задача, що має на меті опис дійсності, повинна задовольняти такі вимоги: 1) задача має розв’язок; 2) розв’язок єдиний; 3) розв’язок стійкий. Дисертація присвячена дослідженню класичної розв’язності деяких багатовимірних задач із вільними границями для еліптичних та параболічних рівнянь.

Серед задач із вільними границями центральне місце посідає проблема Стефана. Вона була сформульована сто років назад, коли австрійський фізик Й. Стефан спробував побудувати математичну модель утворення та еволюції криги у світовому океані. Спочатку основні зусилля були спрямовані на вивчення одновимірних задач, а також задач із циліндричною та сферичною симетрією. В роботах Л.І. Рубінштейна, Дж. Дугласа, К. Хілла, М. Примічеріо, А.М. Мейєрманова та ін. одновимірні задачі були вивчені з достатньою повнотою. Основний метод досліждення – редукція до інтегральних рівнянь вольтеррівського типу.

Початок вивчення багатовимірної задачі Стефана було покладено в роботах О.А. Олєйник та С.А. Каменомостської. Була застосована концепція узагальненого розв’язку, що дозволило довести теорему існування та єдиності слабкого розв’язку. На початку сімдесятих років в роботах К. Байоккі та Г. Дюво був запропонований спосіб редукції деяких задач із вільними границями до варіаційних нерівностей. Ці роботи дали потужний поштовх розвитку теорії варіаційних нерівностей та дозволили А. Фридману, Д. Кіндерлереру, Л. Ніренбергу довести існування глобального класичного розв’язку в однофазній нестаціонарній задачі Стефана. Такі результати були одержані завдяки фундаментальним дослідженням Л. Кафареллі про гладкість вільних границь.

Двофазна задача також дозволяє варіаційну постановку, але на відміну від однофазної задачі тут вдалося довести лише неперервність розв’язку. Наприкінці семидесятих років А.М. Мейєрманов запропонував інший підхід до вивчення двофазної задачі. Ввівши спеціальну регуляризацію та змінні Мізеса, він довів існування класичного розв’язку у малому за часом. Відмітимо також роботи Є. І. Ханзави, який, використовуючи результати Дж. Неша та Ю. Мозера, довів аналогічне твердження. Б.В. Базалій запропонував інший метод дослідження класичної розв’язності у малому за часом, який спирається на теорему Шаудера. Таким же методом йому вдалося довести класичну розв’язність у ряді інших задач типу Стефана. Аналогічні результати одержані Є. В. Радкевичем.

У 1987 році була опублікована робота Р. Ночетто, в якій вивчалася многомірна задача Стефана у так званій ентальпійній постановці. Доведено ліпшицевість вільної границі. В 1996 році опублікована робота Дж. Атанаспоулоса та Л. Кафареллі, в якій показано, що результати попередньої роботи при виконанні деяких умов можна посилити.

Відмітимо, що велике значення мала оглядова робота І.І. Данилюка, присвячена проблемі Стефана, яка опублікована в 1985 році.

Інший клас задач із вільними границями, який вивчається в дисертації, виникає при вивченні хвильових та кавітаційних течій рідини, в математичній теорії горіння. Ці задачі відрізняються від задачі Стефана тим, що вони нелінійні не тільки через наявність вільної границі, а й через нелінійність граничних умов. У стаціонарному випадку вирішальним моментом при вивченні такого роду задач є виявлення варіаційної природи розв’язків. Це призвело до вивчення інтегральних функціоналів із змінною областю інтегрування. Дослідженню таких функціоналів присвячені роботи К. Фридрихса,. П. Гарабедяна, Х. Леві, М. Шиффера, І.І. Данилюка, Б.В Базалія, В.Ю. Шелєпова та ін. В цих роботах вдалося встановити існування розв’язку з класичними диференціальними властивостями, але умови