Задачі з вільними границями для еліптичних та параболічних рівнянь

Нестаціонарні задачі, які описують процес поширення дифузійного полум’я в математичній теорії горіння, досліджувалися у роботах Т. Вентцель, А.М. Мейєрманова, Л.А. Кафареллі, Д.Л. Васкеса, В.А. Галактіонова, Дж. Халсхофа та ін. Основними результатами цих робіт являються такі:

існування класичних розв’язків у одновимірних випадках;

існування слабких розв’язків у багатовимірних випадках;

стабілізація розв’язків;

існування класичного розв’язку у багатовимірному випадку у малому за часом.

Нарешті, в дисертації вивчаються питання існування розв’язку в квазіста-ціонарній задачі Стефана. Ця задача має теплофізичне походження. Вона моделює процес поширення тепла у середовищі, яке знаходиться у дво-фазовому стані, якщо припустити, що фронт кристалізації рухається рів-номірно із сталою швидкістю та у відповідній рухомій системі координат температура не залежить від часу. В результаті одержуємо двофазну квазі-стаціонарну задачу Стефана.

Вперше існування класичного розв’язку в однофазній квазістаціонарній задачі Стефана було доведено в роботах автора. Для цього була використана ідея Байоккі. Задачу вдалося редукувати до еліптичної варіаційної нерівності, а потім, використовуючи метод локальних варіацій та метод симетрування, довести гладкість вільної границі. Таким же методом була доведена класична розв’язність в осесиметричному випадку. Вивченню різних аспектів квазістаціонарної задачі присвячені роботи І.І. Данилюка, Б.В. Базалія, В.Ю. Шелєпова, С.П. Дєгтярьова та ін.

Отже, задачі із вільними границями були в центрі уваги багатьох видатних математиків. За останні три десятиліття опубліковано більше тисячі робіт, присвячених цій тематиці. В результаті проведених досліджень зазнали подальшого розвитку метод інтегральних функціоналів із змінною областю інтегрування, метод варіаційних нерівностей, метод локальних варіацій, метод симетрування та ін. Але в цих роботах не вдалося створити метода, який би дозволив дослідити достатньо широкий клас стаціонарних та нестаціонарних задач із вільними границями. Крім того, питання існування глобальних класичних розв’язків у багатовимірних задачах були вивчені недостатньо.

Мета і задача дослідження. Дослідження існування глобальних класичних розв’язків у двофазній багатовимірній задачі Стефана для лінійного та квазілінійного рівнянь теплопровідности в задачах, які описують процеси горіння, існування класичного розв’язку в стаціонарних задачах, які виникають при вивченні струминних та кавітаційних течій рідини, квазістаціонарної задачі Стефана.

Створення метода, який дозволяє дослідити гладкість вільної границі для цілого класу стаціонарних та нестаціонарних задач.

Наукова новизна отриманих результатів. Наукова новизна результатів дисертації полягає у наступному:

запропоновано новий метод дослідження цілого класу нелінійних задач із вільними границями для еліптичних та параболічних диференціальних рівнянь другого порядку;

доведено існування класичного розв’язку у цілому за часом у двофазній багатовимірній задачі Стефана для лінійного та квазілінійного рівнянь теплопровідності, а також у контактній задачі Стефана;

доведено існування класичного розв’язку в цілому за часом у задачі, яка моделює процес поширення дифузійного полум’я в теоріі горіння, а також класична розв’язність стаціонарної задачі, яка виникає при опису струминних та кавітаційних течій рідини у гідродинаміці;

доведено існування класичного розв’язку в однофазній плоскій та осесиметричній квазістаціонарній задачі Стефана для лінійного рівняння, слабкого розв’язку для квазілінійного рівняння, а також існування слабкого розв’язку у двофазній плоскій квазістаціонарній задачі Стефана.

Особистий внесок здобувача. У сумісних роботах [4], [6] автору належить постановка задачі та метод дослідження.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на Всесоюзній конференції “Математичне моделювання процесів отвердіння. металів та сплавів. ” у м. Новосибірськ (1983 р.), на республіканській конференції “Комплексні методи у математичній фізиці” в м. Донецьк (1984 р.), на радянсько-чехословацькій нараді “Застосування функціональних методів теорії функцій до задач математичної фізики” в м. Донецьк (1986 р.), на республіканській конференції “Нелінійні задачі математичної фізики” в м. Донецьк (1991 р.), на Міжнародних конференціях по нелінійних задачах математичної фізики в м. Київ (1995, 1997 рр.), на Міжнародній конференції “Диференціальні рівняння та суміжні питання” в м. Москва (1996 р.), на семінарах ім. І. Г. Петровського в м. Москва (1976, 1980, 1983 рр.), на Міжнародній конференції “Механіка суцільного середовища із вільними границями” в м. Новосибірськ (1991 р.), на Міжнародних конференціях “Методи математичної фізики” в м. Рахів (1995 р.), в м. Київ (1997 р.), на семінарах у О. А. Ладиженської в м. Ленінград, на семінарах І.І. Данилюка, І.В. Скрипника, Б.В. Базалія в ІПММ НАН України та ін.

Публікації. Результати дисертації опубліковано в роботах [1] – [28].

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, трьох глав та списку літератури (166 найменувань). Загальний об’єм дисертації складає 282 сторінки.

 

 

Перша глава дисертації присвячена дослідженню глобальної класичної розв’язності двофазної багатовимірної проблеми Стефана для лінійного та квазілінійного рівнянь теплопровідності, а також контактної задачі Стефана. Для дослідження цих задач запропоновано новий метод, суть якого в тому, що: побудовано деяку послідовність еліптичних диференціально-різницевих апроксимуючих задач, установлено їх розв’язність, доведено рівномірні оцінки, а потім здійснено граничний перехід.

 

 

Диссертація присвячена вивченню нелінійних задач математичної фізики з вільними границями. Важливість цих задач визначається тим, що вони являються математичними моделями процесів, характерною особливістю яких є наявність різних за своїми характеристиками фаз, відокремлених вільною границею. Такі процеси відбуваються в