Задачі з вільними границями для еліптичних та параболічних рівнянь

 

 

Дисертацію присвячено питанням класичної розв’язності в цілому за часом багатовимірних стаціонарних та нестаціонарних задач із вільними границями. Такі задачі являють собою математичні моделі процесів, характерною особливістю яких є наявність різних за своіми характеристиками фаз, відокремлених вільною (невідомою) границею. В дисертації запропонований новий метод, за допомогою якого вдалося довести існування глобальних класичних розв’язків для цілої низки відомих задач із вільними границями. Цим методом можна скористуватися при дослідженні інших задач із вільними границями; він також може стати основою для створення нових ефективних чисельних методів при вивченні важливих прикладних задач.

Ключові слова: Двофазна проблема Стефана, задачі із вільними границями, глобальні класичні розв’язки, гладкість вільної границі.

 

Диссертации посвящена вопросам классической разрешимости в целом по времени многомерных стационарных и нестационарных задач со свободными границами. Такие задачи представляют собой математические модели процессов, характерной особенностью которых является наличие разных по своим характеристикам фаз, разделенных свободной (неизвестной) поверхностью. В диссертации предложен новый метод, при помощи которого удалось доказать существование глобальных классических решений для целого ряда известных задач со свободными границами. Этот метод может быть использован при исследовании других задач со свободными границами; а также стать основой для создания новых эффективных численных методов при изучении важных прикладных задач.

Ключевые слова: Двухфазная проблема Стефана, задачи со свободными границами, глобальные классические решения, гладкость свободной границы.

 

In the dissertation the problem of classical solvability on the whole in time of multidimensional stationary and nonstationary free boundary problems is studied. Such problems represent mathematical models of processes whose characteristic property is the presence of two different phases separated by a free (unknown) surface. The presence of the free boundary makes these models substantially nonlinear and particularly difficult for study.

Stefan problem occupies the central place among the free boundary problems. It was formulated over a hundred years ago when Austrian physicist J. Stefan tried to construct a model of formation and evolution of the ice in the world ocean. Since then the problem was under attention of many prominent mathematicians. Classical solvability on the whole in time of the one phase problem and classical solvability for small times of the two phase problem have been proved. However, the problem of existence of a global classical solution remained open.

In the first chapter of the dissertation we prove the existence of a global classical solution for the two phase multidimensional Stefan problem for quasilinear heat equation. This result has been proved by applying a new method invented by the author. The method consists in the following: first a special difference--differential elliptic system of approximating problems is constructed, then certain uniform estimates are proved, and the passage to the limit is performed.

Another class of problems studied in the dissertation arises in mathematical models of combustion processes and in the studies of wave and jet flows in hydrodynamics. These problems are different from the Stefan problem: they are nonlinear not only because of the free boundary but also because of the nonlinearity of boundary conditions. In the stationary case the key point in the study of these problems was the discovery of the variational nature of solutions. This led to the investigation of integral functionals with variable domain of integration and allowed to prove the existence of a classical solution in the flat case. In the nonstationary case the problem of existence of a classical global solution remained unsolved.

In the second chapter of the dissertation we prove the existence of a global classical solution in multidimensional two phase nonstationary problem modeling the combustion process, and the existence of the classical solution in the hydrodynamic problem mentioned above. This is done by the method used in the first chapter.

Finally, we also study problems of existence of solutions in the quasistationary Stefan problem. This problem originates from heat physics. It models the spreading of heat in a media which has two phases, if we assume that the crystallization front moves uniformly with a constant speed, and that in the corresponding moving system of coordinates the temperature does not depend on time. In the third chapter of the dissertation we prove the existence of a classical solution for one phase quasistationary Stefan problem in the flat case. By a change of the unknown function the problem is reduced to an elliptic variational inequality. Then we use method of local variations and symmetrization method. We also prove the existence of a weak solution in two phase quasistationary Stefan problem.

Thus, we have suggested a new method which allowed to prove the existence of a global classical solution in a series of known free boundary problems. This method can also be applied to other free boundary problems. It can also become a base for development of new effective numerical methods in studying of important applied problems.

Key words: two phase Stefan problem, free boundary problems, global classical solution, smoothness of the free boundary.