Економетрія

Дискретними називаються випадкові величини, які приймають окремі, строго визначені, ізольовані, кінцеві чисельні значення з певною вірогідністю, між якою не може бути проміжних (число робітників у бригаді, число перевезених за один рейс пасажирів і т.д.). При цьому число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим і нескінченним.

Частіше зустрічаються безперервні випадкові величини, які можуть мати всі можливі значення в деякому кінцевому або нескінченному проміжку. Очевидно, число можливих значень безперервної випадкової величини нескінченне, наприклад, рівень собівартості перевезення одного пасажира, продуктивність праці і т.д.

Оскільки точність вимірювання або обліку завжди обмежена, то практично всі випадкові величини є дискретними.

Значна частина теорії вірогідності й математичної статистики пов'язана з необхідністю досліджувати і описувати велику сукупність об'єктів. Звичайно цю сукупність називають генеральною. Вона охоплює, наприклад, усіх мешканців великого міста, продукцію галузі народного господарства.

Якщо досліджувана сукупність об'єктів дуже численна або об'єкти вивчення труднодоступні, а також є інші причини, що не дозволяють вивчити всі об'єкти, то вдаються до вивчення якоїсь частини генеральної сукупності, що називається вибіркою.

Вибірка повинна бути представницькою або, як кажуть, репрезентативною. Якщо вибірка представляє не всю генеральну сукупність, а якусь її частину, то це називається зсувом вибірки. Зсув - одне з основних джерел помилок при використанні вибіркового методу.

Об'єктом дослідження теорії вірогідності є вибірка, що складається з n однорідних одиниць (елементів). Число n називається обсяг вибірки. Одиницями вибірки можуть бути різні економічні процеси і явища, результати виробничо-господарської діяльності підприємств: продуктивність праці, собівартість продукції, фондовіддача, рентабельність та ін.

Чисельні значення, які приймає досліджувана ознака, називають варрантами. Зміна величини ознаки в статистичній сукупності називається варіацією (коливається або розсіюванням).

Для того, щоб замінити в зареєстрованих значеннях процесу, що вивчається, будь-яку закономірність, їх треба привести до доступного для аналізу вигляду, тобто впорядкувати, класифікувати, систематизувати, згрупувати. Процес розчленовування досліджуваної сукупності на частини називається угрупованням.

Початковою базою для вивчення закономірностей тих чи інших явищ служать статистичні ряди розподілу, які будуються за якісними і кількісними ознаками.

Якщо ряди є послідовністю чисел, що характеризують зміну показника в часі, то вони називаються тимчасовими, а якщо показують розподіл одиниць сукупності, що вивчається, по окремих групах, виділених за певною ознакою, то варіаційними.

Число, що показує, скільки разів зустрічається та або інша одиниці сукупності, що вивчається, називається його частотою m.

Варіаційний ряд або ряд розподілу є таблицею, в якій в порядку убування або зростання перераховані можливі значення випадкової величини за вибіркою, що вивчається, з вказівкою їх частот.

Таблиця 2.1 – Значення випадкової величини

Якщо різних значень випадкової величини багато, то ряди розподілу складаються в інтервальній формі. Різниця між верхньою Хi і нижньої Хi-1 межами інтервалу називається його величиною:

∆Хi−Xi−Xi-1.

Число інтервалів не повинне бути надмірно великим. Для того, щоб можна краще проявити характерні особливості, пов'язані з природою величин, що вивчаються, рекомендується ділити проміжок варіації на 6÷16  інтервалів залежно від обсягу вибірки.

Отже, для визначення величини інтервалів необхідно різницю Хmax і Хmin (розмах варіювання) розділити на 6ч16 залежно від числа спостережень:

 

У літературі зустрічається і таке визначення розрахунку інтервалів, як використання формули Стерджеса

 

Отримане значення інтервалу ∆Х звичайно округляють. За величину і особливо центр інтервалу приймається деяке "зручне число", що має невелике число значущих цифр, щоб полегшити надалі обчислення.

Запис інтервальних рядів розподілу поданий в табл. 2.2.

Таблиця 2.2- Інтервальні ряди розподілу 

 

Дослідження не обмежується побудовою ряду розподілу тієї або іншої випадкової величини. Необхідно знайти декілька величин, так званих статистичних характеристик, які відображали б властивості ряду розподілу в цілому, повніше характеризували б сукупність і властиві їй закономірності. Інакше кажучи, ставиться завдання знаходження такого значення випадкової величини, навколо якої групуються всі інші і зустрічаються найбільш часто. Найважливішим і найпоширенішим з них є середня арифметична, яка позначається символом  . Якщо випадкова величина приймає n значень, то середня арифметична за незгрупованими даними є сумою її значень, розділеною на їх число:

 

Середня арифметична зважена за групованими даними обчислюється таким чином:

 

Середня арифметична, як і середня арифметична зважена, володіє тією властивістю, що сума відхилень значень випадкової величини від середньої арифметичної рівна нулю. Ця властивість дає можливість визначити середню арифметичну як центр угрупування випадкової величини.

Крім середнього значення ознаки важливо знати характер варіації, тобто як тісно концентруються всі значення елементів сукупності навколо середньої. З теоретичної точки зору самою відповідною мірою коливання ознаки служить дисперсія (від латинського dispercia - розсіяння), є квадратом відхилення дослідних даних від середнього значення:

за незгрупованими даними,

за згрупованими даними.

Як бачимо, дисперсія випадкової величини в окремих випадках може мати нереальну розмірність. Для її усунення вводять середньоквадратичне відхилення, що розглядається в тих же одиницях вимірювання:

Безрозмірним показником коливання випадкової величини є коефіцієнт варіації, який є відношенням , відображеним у відсотках:

Якщо дисперсія або коефіцієнт варіації великі, то це свідчить