+3 8(066) 185-39-18
fПредмет:
Тип роботи:
Курс лекцій
К-сть сторінок:
105
Мова:
Українська
максимум
Оскільки площа диференційованої функції нормального розподілу дорівнює одиниці, то зі зростанням σх максимальна ордината нормальної кривої убуває, а сама крива стає більш пологою. Навпаки, з убуванням σх нормальна крива стає більш гостроверхою.
При =0 і ух=1 нормальну криву називають нормованою:
Величина табульована і може бути визначена з відповідних математико-статистичних таблиць (диференціальна функція Лапласа). У цих таблицях наведені функції f (х), відповідні позитивним значеннях Х. Для від’ємних Х користуються тими ж таблицями, оскільки функція f (х) парна, тобто f (-х)=f (x). У таблиці наводяться значення f (х) для Х від 0 до 4 через 0,01.
Для того, щоб можна було користуватися готовими таблицями, потрібно криву нормального розподілу привести до стандартної форми. Стандартизація полягає в переході від випадкової величини Х, має математичне очікування і середньоквадратичне відхилення σх, до допоміжної величини називаної центрованим і нормованим відхиленням:
Використовуючи відповідні таблиці значень, будують таблицю стандартизованого розподілу вірогідності.
Якщо на вісь абсцис нанести значення t, а на вісь ординат вірогідність P(t), то графічне зображення дає нормальну криву. Фізичне значення t означає, на скільки середньоквадратичних відхилень σх змінюється значення випадкової величини від її середнього значення .
2.3. Статистичні гіпотези та їх перевірка
При вибіркових обстеженнях допускаються різного роду похибки, при цьому розрізняють грубі, систематичні й випадкові помилки.
Грубі помилки за абсолютними величинами значно відрізняються від всього ряду помилок і підлягають виключенню з ряду спостережень.
Систематичні помилки є наслідком впливу певних чинників, що спотворюють результати вимірювань за певним законом у відомому напрямі. Вони викликані зносом засобів вимірювання, їх неправильною установкою, дією зовнішнього середовища і т.п.
Випадковими називають такі помилки, характер зміни яких не володіє видимою закономірністю. Кожна подальша помилка за абсолютним значенням може бути більше або менше попередньої.
Аналіз випадкових похибок ґрунтується на теорії випадкових помилок, яка дає змогу з певною гарантійною вірогідності обчислити дійсне значення шуканої величини.
В основі теорії випадкових помилок лежать наступні підтверджені досвідом висновки:
1. Різниця у значеннях характеристики вибіркової і генеральної сукупності складе помилку вибірки – =х, і т.д. Ці помилки є випадковими величинами. Тому необхідно в кожному конкретному випадку визначити не тільки розмір помилки, але і надійність або гарантію того, що цей розмір не буде перевищений.
2. Вибіркові середні також симетрично розподіляються навкруги генеральної середньої, незалежно від характеру розподілу випадкової величини в генеральній сукупності.
Закономірність розподілу випадкових помилок спостережень описується нормальною кривою. Карл Гаусс (1777-1855 рр.) використовував її як основу для теорії випадкових помилок вимірювань.
Рис. 2.2.- Крива розподілу випадкових помилок спостережень
Вся площа під кривою дорівнює 1. Основна маса випадкових помилок групується навколо середнього значення, яке дорівнює 0.
На ділянці, обмеженій +σх, знаходиться 68,3% всіх спостережень; на ділянці, обмежений +2σх і –2σх –95,3%; на ділянці, обмеженій +3σх і –3σх –99,7%.
На основі характерних властивостей розподілу випадкових помилок спостережень можна зробити висновок, що при достатньо великому обсязі вибірки n її числові характеристики за вірогідністю наближаються до відповідних значень характеристики генеральної сукупності.
Рівень значущості звичайно вимірюється у відсотках і їх чисельне значення заснована на так званому принципі незалежності маловірогідних подій. На практиці звичайно приймають рівні значущості, що знаходяться між 0,01-0,05. Відповідно їх називають одновідсотковими, двовідсотковими і т.д.
З принципу неможливості маловірогідних подій випливає наступний висновок: якщо випадкова подія має вірогідність дуже близьку до одиниці, то практично можна вважати, що в одиничному випробуванні ця подія наступить (P0,99).
Припущення щодо закономірностей, які мають місце в генеральній сукупності, називається статистичною гіпотезою, а критерій її перевірки - статистичною характеристикою.
Як критерій перевірки вибирається деяка статистична характеристика. Припущення, що висувається, може бути помилковим, внаслідок вибіркової помилки, і має назву нульової гіпотези Но.
Конкуруюча (протипожежна) гіпотеза означає, що має місце суттєва відмінність між вибірковими значеннями в генеральній сукупності. Сформулювавши гіпотезу Но, можна зіткнуться з чотирма ситуаціями:
- гіпотеза Но правильна, а її забракували, оскільки характеристика потрапила в критичну область, тобто допущена помилка першого роду, вірогідність якої рівна рівню значущості α;
- гіпотеза правильна і її прийняли, оскільки характеристика потрапила в допустиму область, тобто рішення правильне;
- гіпотеза неправильна і її прийняли, оскільки характеристика потрапила в критичну область, тобто рішення правильне;
- гіпотеза неправильна, а її відкинули, оскільки характеристика потрапила в допустиму область. Допущена помилка другого роду, тобто прийнята невірна гіпотеза.
Як видно, рівень значущості можна тлумачити як ризик вчинити помилку першого роду, тобто забракувати правильну вірну гіпотезу. В зв'язку з цим для ухвалення гіпотези рівень значущості призначають п'ятивідсотковий (α=0,05), а для бракування гіпотези - одновідсотковий (α=0,01).
Рис. 2.3- Довірчі межі й критична область ряду розподілу
Областю ухвалення гіпотези називають сукупність значень вибраного критерію, при яких гіпотезу приймають, критичною областю - при значеннях критеріях, коли нульову гіпотезу відкидають.
Вибіркова середня є певне число, яке можна розглядати як випадкову величину. Отже можна говорити про її розподіл і про числові характеристики цього розподілу ( σх2, σх та ін).
Двостороння область, в яку повинна потрапити середня генеральної сукупності,