Економетрія

Предмет:

Економіка підприємства

Тип роботи:

Курс лекцій

К-сть сторінок:

105

Мова:

Українська

Оцінка:

про значний розкид випадкової величини її середнього значення.

Випадкова величина характеризується двома основними параметрами:

безліччю її можливих значень;
вірогідністю того, що вона прийме ті чи інші значення з цієї множини.

Вірогідність є одним з основних понять математичної статистики. Вона є математичним визначенням об'єктивної можливості відбутися або не відбутися випадковому явищу.

При вивченні рядів розподілу використовують не тільки абсолютні значення появи випадкової величини mi (частоти), але й відносні частоти, тобто .

Згідно з теоремою Якова Бернуллі (1654-1705), що отримала назву "закону великих чисел" в статистиці, можна передбачати відносну частоту події.

Теорія Я. Бернуллі була опублікована в 1713г. Стосовно вибірки вона формулюється так: з вірогідністю, скільки завгодно близькою до одиниці, можна стверджувати, що різниця між відносною частотою і часткою в генеральній сукупності при достатньо великому обсязі вибірки буде скільки завгодно мала.

Коротко теорема Я. Бернуллі записується так:

З цього виходить, що вірогідність події А визначається формулою

Сума всіх відносних частот дорівнює 1, тобто

З визначення вірогідності випливають наступні її властивості:

1.Вірогідність неможливої події дорівнює 1. При m=n

P(A)= = =1.

2. Вірогідність неможливої події дорівнює нулю. При m=0

Pa= = =o.

3.Вірогідність випадкової події є позитивне число, укладене між нулем і одиницею.

Дійсно випадковій події сприяє лише частина із загального числа елементарних результатів випробувань. У цьому випадку о<m<1, значить

о< <1

о≤P(A)≤1.

4. Вірогідність протилежної події дорівнює різниці між одиницею і вірогідністю даної події, тобто

P(B)=1−P(A).

5. Якщо в результаті випробування повинне відбутися одне, і тільки одне з деяких подій А1,А2,…Ак, то сума всієї вірогідності дорівнює одиниці, тобто

P1(A1)+P2(A2)+…+Pk(Ak)=1.

Одним з узагальнюючих результатів закону великих чисел є те, що при достатньо великому числі спостережень n середнє значення випадкової величини приблизно дорівнює її математичному очікуванню, або М(х)= . Така середня називається стохастичною.

З цього виходить, що математичне очікування дискретної випадкової величини є невипадкова (постійна) величина. Тим самим П.Л.Чебишев (1821-1894) довів, що сукупні дії великого числа чинників призводять до результату, майже не залежному від випадку.

У вузькому значенні слова під законом великих чисел розуміється ряд математичних теорем, в яких встановлюється факт наближення середніх показників у результаті великого числа спостережень до деяких постійних величин.

У широкому значенні слова зміст закону великих чисел полягає в тому, що при великому числі випадкових явищ їх середній результат практично перестає бути випадковим і може бути представлений з великою визначеністю.

2.2. Закони розподілу випадкової величини

Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм вірогідностями.

Найпростішою формою завдання такого закону служить таблиця, в якій перераховані можливі значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності.

Таблиця 2.3-Значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності

Х1Х2Х3...ХnРазом

Р1P2P3...Pn =1

Щоб надати ряду розподілу наочний вигляд, будують його графічне зображення у вигляді гістограми, полігону, кумуляти і огіви.

Табличний розподіл можливих значень випадкової величини і відповідних їй ймовірностей, графічне зображення кривих розподілу і аналітичний опис вказаної залежності є форми закону розподілу.

Криві розподілу можуть бути самої різної форми. Проте серед них слід виділити так звані одновершинні криві, що часто зустрічаються.

В економічних дослідженнях симетричні розподіли зустрічаються рідко. Набагато частіше вершина кривої знаходиться не в центрі, а дещо зміщена. Зустрічається також двопіковий розподіл. Його наявність свідчить про те, що розглядається неоднорідна сукупність.

Теоретичними розподілами в економічних дослідженнях головним чином закон є Пуассона, показовий, біномінальний, Стьюдента, - квадрат, Лапласа, нормальний та ін.

Нормальний закон розподілу реалізується для випадкових величин, які формуються під сумарною дією багатьох незалежних поміж собою дрібних причин, дія кожної з яких мала в порівнянні із загальним результатом.

У математичній статистиці нормальний розподіл відіграє роль стандарту, з яким порівнюються інші розподіли.

Формула нормальної кривої має наступний вигляд:

де Х - випадкова величина;

- середнє арифметична або математичне очікування;

σх - середнє квадратичне відхилення;

π =3,14159, е=2,71828 - відомі константи.

Крива Гаусса - Лапласа має горбоподібний вигляд і симетрично розташовується відносно вертикальної прямої. Центр угрупування випадкової величини і форму нормальної кривої визначають числові характеристики і σх.

При Х= функція має максимум, рівний

Симетрія кривої Х= вважається основною властивістю нормального розподілу: однакові відхилення значення випадкової величини від її середнього в обидві сторони зустрічаються однаково часто.

Рис. 2.1 - Крива Гаусса - Лапласа

При збереженні своєї загальної форми крива розподілу нормального закону може мати різний ступінь пологості й крутизни залежно від значення σх.

У математико-статистичних дослідженнях, незалежно від розмірності випадкової величини Х, може бути визначена відносна частота.

По правому 3σ величина абсолютного відхилення випадкової величини від середнього по вибірці менше ± 3σх з вірогідністю 0,997. Лише 0,3% всього Хi числа спостережень виходить з "трисигмових меж". В інтервалі від Х-σх до Х+σх знаходиться 68,3% спостережень, в інтервалі від Х-2σх до Х+2σх - 95,5% спостережень. Як було сказане вище,