Метод Мелера-Фока у контактних задачах теорії пружності для півпростору з круговими лініями розділу граничних умов

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

 

ГАЙДАЙ Олександр Васильович

 

УДК 539. 3

 

 

01. 02. 04 – механіка деформівного твердого тіла

 

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

 

Київ – 2002

 

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка. 

Науковий керівник: член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор УЛІТКО Андрій Феофанович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри теоретичної та прикладної механіки.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ПОДІЛЬЧУК Юрій Миколайович, Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, м. Київ, завідувач відділу доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник ГОМІЛКО Олександр Михайлович, Інститут гідромеханіки НАН України, м. Київ, провідний науковий співробітник.

Провідна установа: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача, м. Львів

Захист відбудеться “ 18 ” грудня 2002 р. о “ 16 ” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26. 001. 21 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (03022, м. Київ, проспект Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет)

 

 

Актуальність теми. У наукових дослідженнях та інженерній практиці досить часто доводиться розглядати поля деформацій та напружень, що виникають під час контактної взаємодії двох чи декількох пружних або пружних і абсолютно жорстких тіл. Математичними моделями таких полів є диференціальні рівняння в частинних похідних з крайовими умовами мішаного типу. Такі крайові задачі є найбільш складними і багато з них, принаймні, якщо говорити про точні розв’язки, уже десятиліттями чекають на своє вирішення.

Внутрішня єдність теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних дозволяє отримані для одного класу прикладних задач розв’язки застосовувати у фізично абсолютно інших ситуаціях. У цьому суть відомого метода математичних аналогій. Контактні задачі, наприклад, мають електростатичні аналогії та для випадку нестисливого матеріалу аналогію із задачами повільних течій в’язкої рідини, а методи їх розв’язання успішно використовуються в теорії дислокацій. Усе це розширяє значення досліджень у галузі контактних задач, чим можна пояснити і зростання інтересу до них спеціалістів різних науково-технічних напрямків.

Усе, що зазаначено вище, стосується і плоских, і просторових контактних задач. Але останні мають, як підтверджує практика, більшу актуальність для фундаментальних та прикладних досліджень. З одного боку, практично завжди напружено-деформований стан має тривимірний характер, а всі вироджені стани (плоскі напруження, плоскі деформації, теорія стержнів, пластин і оболонок) насправді є певними наближеннями, умови застосовності яких у конкретних окремих випадках виконуються точно або наближено. З іншого боку, в інженерних питаннях міцності матеріалів та елементів конструкцій використовують в основному інформацію про досягнення компонентами напружено-деформованого стану або їхніми комбінаціями екстремальних значень у локальних зонах (у місцях прикладання нерівномірного навантаження, поблизу країв, у зонах різкої зміни геометрії елементів конструкцій тощо). У зв’язку з цим отримання достовірної та повної інформації про напружено-деформований стан у вказаних локальних зонах пов’язане тільки з використанням методів та результатів просторових задач.

Для контактних задач, що розв’язуються в даній роботі (осесиметричний кільцевий штамп, два круглих штампа, круглий штамп і нерухома півплощина), на сьогодні не знайдено точного аналітичного розв’язку в замкненому вигляді. Третя з указаних проблем розглядається взагалі, мабуть, уперше. Друга задача та подібні їй розглядались у кількох роботах, але побудовані там розв’язки або суттєво наближені й не враховують нахилу штампів під час їхньої взаємодії, або подаються у вигляді розкладів за степенями малого параметра, оберненого до відстані між штампами, що погано спрацьовує для відносно близько розташованих штампів. У такій самій постановці, як у даній дисертації, задача про два штампи розглядалась в єдиній роботі, яка, на жаль, не містить жодних розрахунків. Окрім того, в усіх згаданих роботах не знайшло відповіді питання про розподіл напружено-деформованого стану в об’ємі пружного півпростору.

Таким чином, дане дослідження покликане збагатити математичну теорію пружності новими точними розв’язками ряду контактних задач для півпростору. Також, як уже зазначалось вище, застосовуючи метод математичних аналогій, з розв’язків цих задач досить просто отримуються розв’язки задач про обтікання дисків в’язкою рідиною з малими числами Рейнольдса (наближення Стокса). У теорії стоксових течій ці результати є новими.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження та результати дисертаційної роботи тісно пов’язані з дослідженнями задач теорії пружності для необмежених тіл з тороїдальним, веретеноподібним або лінзоподібним включенням, а також клиноподібних тіл, які проводились на кафедрі теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Дана дисертація є частиною комплексної наукової програми Київського національного університету імені Тараса Шевченка на 1997-2002 pp. за темою “Дослідження закономірностей деформування складних механічних структур з урахуванням явищ і ефектів зв’язності полів різної природи і розробка методів їх кількісного аналізу”.

Метою дослідження є розробка методики розв’язання та побудова точних розв’язків контактних задач теорії пружності для півпростору з круговими лініями розділу граничних умов на основі використання інтегрального перетворення Мелера-Фока. Для досягнення цієї мети автор ставив перед собою такі конкретні завдання:

-