Метод Мелера-Фока у контактних задачах теорії пружності для півпростору з круговими лініями розділу граничних умов

граничні умови (19) для гармонічної функції задачі ω при φ = π /2 не зміняться (лише замінимо індекс “+” на “0”), а при φ = – π /2 приймуть вигляд

ω = 0 (- π < η < π, 0  ξ < ), (34)

який дозволяє завдяки перетворенню Мелера-Фока встановити зв’язок між густинами в загальному розв’язку (20) :

bk (τ) = ak (τ) cth (πτ /2). (35)

Тепер отримуємо парну систему для ak (τ) :

яка розв’язується шляхом заміни:

Гармонічна функція задачі ω при цьому набуває вигляду:

а для fk (x) уже звичним способом отримується рівняння Фредгольма 2-го роду:

де праві частини такі ж самі, як у (23), тільки індекси “±” слід опустити.

Аналогічно до попередньої задачі, шукаємо наближений аналітичний розв’язок, апроксимуючи для α0  0. 8 (d  R0/2) ядро рівняння (39) виродженим:

Розв’язання рівнянь (39-40) повторює з певними відмінностями розв’язання рівнянь (23-24). Таким чином, знайдено розв’язки перших шести рівнянь (39-40). Наприклад, для d = R0/2:

Контактні напруження під круглим штампом (рис. 13) і коефіцієнт їхньої інтенсивності К у залежності від кута θ, який задає положення точки на краю штампа (лівий рис. 14), знаходяться за тими ж формулами (30) і (31), де fk (x) – це вже розв’язки (39). Напруження виявилися більшими, ніж у тому випадку, якби півплощини не було, причому їхня епюра викривлена в інший бік, ніж у попередній задачі. Що ж стосується нормальних напружень розтягу під нерухомою півплощиною, то для них отримано таку формулу:

Знайдено і коефіцієнт інтенсивності напружень на півплощині (правий рис. 14) :

Його максимальне значення (значення в 0) виявилось меншим за максимум коефіцієнта інтенсивності напружень під штампом (майже удвічі для d = R0/2).

Для контролю правильності розв’язку виконано граничний перехід до задачі про нерухому півплощину і зосереджену силу (зменшувався радіус штампа і збільшувалась його осадка так, щоб сила вдавлювання залишалася постійною). До цієї ж задачі перейдено від розв’язаної Л. А. Галіним задачі про круглий штамп при наявності на границі півпростору зосередженої нормальної сили (збільшувався радіус штампа до нескінченності при нульовій його осадці). У результаті отримано ідентичні формули для контактних напружень.

Головний вектор та головний момент, які необхідно прикласти до штампа, подаються тими ж формулами (32), але тепер момент має протилежний знак, а сила більша за силу для одинокого штампа. Знайдено також зовнішню силу і момент прикладених до півплощини зовнішніх сил відносно осі Oz:

Після обрахунків виявилося, що, тобто півплощина повністю компенсує силу, з якою штапм діє на півпростір.

 

 

У дисертації на основі єдиного підходу отримано точні аналітичні розв’язки ряду контактних задач теорії пружності для півпростору з круговими лініями розділу граничних умов та відповідних їм задач теорії стоксових течій. Згаданий підхід полягає в застосуванні інтегрального перетворення Мелера-Фока в тороїдальних координатах та апарату парних інтегральних рівнянь для цього перетворення. Це дозволяє звести мішану крайову задачу для гармонічної функції до парної системи двох, а не трьох інтегральних рівнянь, як це буває при використанні більш звичних циліндричних координат. У кожній із задач отримано одне чи систему двох рівнянь Фредгольма другого роду з простим регулярним ядром. Ці рівняння розв’язано аналітично шляхом заміни ядра на вироджене. Застосована методика показала свою ефективність у всіх розглянутих у роботі випадках порівнянно з відомими у науковій літературі підходами до розв’язання відповідних задач.

При цьому до основних результатів проведених розв’язків можна віднести знаходження наступних характеристик механічних полів та встановлення наступних властивостей досліджуваних механічних систем.

Встановлено, що контактні напруження під кільцевим осесиметричним штампом мають класичні кореневі особливості при підході до границь штампа, причому коефіцієнт інтенсивності напружень на зовнішній границі виявився більшим, ніж на внутрішній (приблизно удвічі для радіусу отвору a, що дорівнює половині зовнішнього радіусу кільця b).

На основі розв’язків для широкого та для вузького кільця знайдено зв’язок між силою вдавлювання штампа у півпростір і його осадкою. Значення цієї сили, обчислені відповідно до різних методів, добре співпадають для 0. 85<a/b<0. 999 (при цьому при a/b=0. 999 для досягнення методом для широких кілець точності в 1% знадобилось 7 послідовних наближень). Таким чином, отриманий з використанням перетворення Мелера-Фока розв’язок дає високоточний результат для кілець практично довільної ширини. Виявлено також незначну відмінність (максимум – на 10%) сили вдавлювання широкого (0<a/b<0. 8) кільцевого штампа від її значення при відсутності отвору, а також її різке спадання від 0. 5 до 0 при подальшому збільшенні a/b від 0. 999 до 1.

Показано, що рівняння статики пружних нестисливих тіл і усталених стоксових течій приводяться до ідентичних рівнянь векторного поля. Це дозволило, враховуючи подібність також і граничних умов, провести аналогію між відповідними задачами.

Знайдено і проаналізовано стоксовий потік навколо кільцевої пластинки: побудовано лінії обтікання, лінії рівня вихору швидкості, знайдено миттєву витрату рідини через отвір кільця та силу опору його рухові і, на відміну від багатьох робіт по стоксових течіях, знайдено гідродинамічний