Метод Мелера-Фока у контактних задачах теорії пружності для півпростору з круговими лініями розділу граничних умов

Задача розв’язується в тороїдальних координатах (ξ, η), які пов’язані з природно введеними циліндричними такими формулами:

Подаючи переміщення і напруження у вигляді представлень Папковича-Нейбера через одну гармонічну у півпросторі функцію ω, отримуємо для неї мішану задачу теорії потенціалу, граничні умови якої записуємо в тороїдальних координатах:

Загальний же розв’язок рівняння Лапласа з урахуванням першої з умов (3), яка задається на повному проміжку 0  ξ < , – це добуток “ріманового радикала” на розклад в інтеграл Мелера-Фока за функціями Лежандра:

Решта дві умови (3) дають відносно невідомої густини d (τ) парну систему інтегральних рівнянь, яка розв’язується окремо для вузьких та широких кілець.

У випадку вузьких кілець шляхом введення нової невідомої функції h (ξ) приходимо до інтегрального рівняння на проміжку ξ0  ξ <  з логарифмічно особливим ядром. Після заміни його на асимптотично рівне при великих ξ отримуємо рівняння Карлемана, точний розв’язок якого дозволив знайти асимптотики контактних напружень та сили вдавлювання штампа у півпростір:

У випадку широких кілець виділяється в явному вигляді точний розв’язок для круглого штампа без отвору:

Функція подається у вигляді (4). Парна система, яка отримується для розв’язується шляхом представлення невідомої густини у вигляді

який тотожно задовольняє друге з рівнянь (8). При підстановці (9) у перше рівняння (8), використовуючи розривні інтеграли Мелера, інтегральні розвинення для функцій Лежандра та точний розв’язок рівняння Абеля, приходимо врешті решт до рівняння Фредгольма другого роду з регулярним ядром простої будови:

Це рівняння розв’язувалось методом послідовних наближень, який збігається для ξ0 < 10 (a/b < 0. 9999), тобто для практично довільної ширини кільця. Аналітичний же розв’язок (10) для a/b  0. 5 отримується, апроксимуючи ядро рівняння виродженим: при цьому похибка розв’язку (9), спричинена заміною ядра, не перевищує. 

Контактні напруження і сила вдавлювання для широких кільцевих штампів: Напруження (рис. 1) мають класичні кореневі особливості при підході до країв штампа, причому на зовнішньому краю коефіцієнт їхньої інтенсивності більший, ніж на внутрішньому (для радіусів кільця a = b/2 – приблизно удвічі).

Графік для сили вдавлювання (рис. 2) побудований “склеюванням” формул (13) і (6), які добре узгоджуються для “середніх” кілець (0. 85 < a/b < 0. 999).

У третьому розділі щойно отриманий розв’язок контактної задачі використовується у задачі Стокса про осесиметричне обтікання кільцевої пластинки в’язкою рідиною. Таке перенесення результатів із контактної механіки в теорію стоксових течій є законним завдяки доведеній для нестисливого матеріалу (m = 2) математичній аналогії між вказаними задачами. При цьому переміщення і напруження в пружному тілі відповідають швидкостям і напруженням у рідині, а модуль зсуву G – динамічній в’язкості μ.

Максимально спрощуємо вираз для гармонічної функції задачі, який отримується підстановкою (8) у (3). Для цього функцію Лежандра замінюємо на її інтегральне розвинення, міняємо порядок інтегрування в отриманому потрійному інтегралі і обчислюємо внутрішні інтеграли. У результаті маємо:

На основі (14), представлень Папковича-Нейбера і формул, які виражають похідні по r і z через похідні по ξ і η, знаходимо в точках простору швидкості і гідродинамічний тиск p = – (σr + σz + σφ) /3 = – ω/z. (15)

Компоненти швидкості знайдено в системі координат, в якій кільце рухається зі швидкістю V0 у нерухомій на нескінченності рідині. Для побудови ліній току потрібно перейти в координати, жорстко зв’язані з тілом, що обтікається. Для цього достатньо від знайденої Vz відняти V0.

Із побудованих лінії току (рис. 3) зокрема видно, що вплив отвору на картину обтікання проявляється, в основному, у безпосередній близькості до нього. Як наслідок, кількість рідини, яка проходить крізь отвір за одиницю часу (потік), – порівняно незначна (рис. 4). Знаходиться потік, інтегруючи швидкість Vz по площі отвору. Кратні інтеграли, які при цьому виникають, вдалося, міняючи порядок інтегрування, згорнути і отримати таку просту формулу:

Ізобари (рис. 5), побудовані згідно з (15), на відстані від кільця порядку його радіуса майже не відрізняються від ізобарів для відповідного суцільного диска. Вплив отвору знову ж таки відчувається у невеликому його околі і проявляється у тому, що тиск при наближенні до отвору трохи спадає. Це зокрема означає, що частинки рідини, які рухаються до кільця по осі симетрії задачі, перед входженням в отвір дещо прискорюються, а отже своє мінімальне на осі Oz значення швидкість Vz приймає не у початку координат, як це могло б здаватися на перший погляд. Цей факт підтверджується також і тим, що трубки току при вході в отвір трохи звужуються (рис. 3), отже, швидкість там зростає.

Важливою характеристикою в’язкого потоку є величина, що відповідає за інтенсивність перемішування рідини, – вихор. В осесиметричному випадку він має єдину ненульову складову:, де – вектор нормалі до меридіонального перерізу.

На рис. 6 по різні боки від лінії нульового вихору (пунктир) частинки рідини обертаються в різні боки. Вихор, так само, як тиск і напруження у контактній задачі, має кореневі особливості на краях кільця, причому з такими ж самими коефіцієнтами. Тобто, біля зовнішнього краю рідина перемішується інтенсивніше, ніж біля внутрішнього.

Причому параметр с вибирається саме так, щоб