Метод Мелера-Фока у контактних задачах теорії пружності для півпростору з круговими лініями розділу граничних умов

- за розробленою схемою побудувати точний розв’язок задачі про гладкий контакт двох круглих штампів із пружним півпростором; детально розглянути випадок штампів рівних радіусів та осадок і випадок виродження одного із них у нерухому півплощину;

- базуючись на аналогії між контактними задачами теорії пружності і задачами гідродинаміки при малих числах Рейнольдса, розв’язати також задачу Стокса для кільця і двох дисків.

Наукова новизна одержаних результатів. Уперше дістав завершення отриманий за допомогою інтегрального перетворення Мелера-Фока та апарату парних інтегральних рівнянь для цього перетворення аналітичний розв’язок осесиметричної контактної задачі теорії пружності про вдавлювання без тертя плоского кільцевого штампа у пружний півпростір, а також задачі Стокса про осесиметричний рух кільцевої пластинки у в’язкій рідині.

Подальшого розвитку дістало застосування методу, який базується на перетворенні Мелера-Фока, до задачі про вдавлювання без тертя і перекосу двох круглих штампів у пружний півпростір. Для цієї задачі вперше на основі вказаного методу обчислені всі основні механічні характеристики на границі півпростору для випадку плоских штампів однакових радіусів і осадок. Уперше, спираючись на аналогію зі стоксовими течіями, проведено детальний аналіз механічних полів у об’ємі в’язкої рідини, що обтікає систему двох однакових дисків.

Уперше розглянуто і розв’язано задачу про гладкий контакт круглого плоского штампа із пружним півпростором, границя якого розділена на дві півплощини, на одну із яких діє цей штамп, а точки іншої не мають можливості зміщуватись по вертикалі.

Практичне значення одержаних результатів. Побудовані розв’язки трьох контактних задач теорії пружності можна використати під час проектування, аналізу поведінки, розрахунків на міцність та жорсткість інженерних конструкцій, які містять контактуючі пружні і жорсткі елементи схожої геометрії. Інше пряме застосування отриманих результатів – розрахунок фундаментів схожої геометрії, якісна та кількісна оцінка взаємовпливу двох близько розташованих споруд на круглих фундаментах.

Розв’язки задач про повільне обтікання тіл в’язкою рідиною можна застосувати в теорії осадження частинок, а також у задачах, які виникають у хімічних технологіях під час перемішування дуже в’язких розчинів, розплавів полімерів, тощо апаратами, що містять конструктивні елементи у вигляді круглих чи кільцевих пластинок.

Апробація результатів дисертації. Результати окремих розділів дисертації та робота в цілому доповідалась на науковому семінарі “Проблеми механіки” при кафедрі теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Крім цього, окремі результати роботи доповідались на V міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Луцьк, 2000) та на міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (Київ, 2001).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 6 наукових праць, серед яких 4 – у наукових фахових журналах і 2 – у збірниках праць міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, п’яти розділів, висновків та списку використаної літератури. Повний обсяг дисертації становить 136 сторінок друкованого тексту, в тому числі: 31 рисунок (усі включено до тексту) та список використаної літератури зі 100 найменувань, який розміщено на 9 сторінках.

  

 

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи; сформульовано мету і задачі дослідження; вказано наукову новизну та практичне значення результатів, отриманих у роботі; наведено дані про апробацію результатів роботи та список публікацій автора за темою дисертації.

Перший розділ містить огляд літератури, присвяченої розв’язанню різних задач природознавства, які приводять до мішаних крайових задач математичної фізики для півпростору з круговими лініями розділу граничних умов.

Зокрема розглядаються роботи таких видатних учених, як Г. Герц, Дж. Бусінеск, А. Н. Діннік, І. Я. Штаерман, А. І. Лурьє, В. М. Абрамов, Л. А. Галін, Я. С. Уфлянд, В. І. Моссаковський, Н. Н. Лебедєв, А. Я. Александров, К. Є. Єгоров, В. С. Губенко, З. Олесяк, Н. М. Бородачов, Ф. Н. Бородачова, Дж. С. Кук, Г. М. Валов, В. М. Александров, А. А. Баблоян, В. С. Тоноян, А. Ф. Улітко, Г. Я. Попов, Г. М. Накашидзе, В. Г. П’ятоваленко, Ю. А. Антіпов, А. М. Дж. Дейвіс, Р. П. Роджер, Р. Г. Хуссей, В. Т. Грінченко, О. Є. Андрейків, В. В. Панасюк, Г. Ф. Маслюк, М. Стімпсон, Г. Б. Джеффері, Дж. Хаппель і Г. Бреннер, В. С. Проценко і В. Г. Проценко, А. Х. Раков, С. А. Дубецький, Б. М. Марзіцин, Я. П. Бузько, О. Я. Шехтер, В. А. Бабешко і Т. В. Коренева, які зробили значний внесок у розвиток задач теорії пружності та теорії стоксових течій для кільця, одного та двох круглих штампів чи дисків.

Другий розділ присвячено задачі про осесиметричне вдавлювання на глибину V0 абсолютно гладкого штампа з плоскою кільцевою основою радіусів a і b (a < b) у пружний півпростір з числом Пуасона m і модулем зсуву G. Вектор пружних переміщень u задовольняє рівняння Ламе:

2 (m – 1) grad div u – (m – 2) rot rot u = 0. (1)

Граничні умови – традиційні для задач гладкого контакту: відсутність дотичних напружень на всій границі, відсутність нормальних напружень поза штампом, рівність нормальних переміщень