Метод Мелера-Фока у контактних задачах теорії пружності для півпростору з круговими лініями розділу граничних умов

Ключові слова: кільцевий штамп, два круглих штампи, тороїдальні координати, перетворення Мелера-Фока, аналітичний розв’язок, контактні напруження, коефіцієнт інтенсивності, задача Стокса, гідродинамічний тиск і вихор.

 

Гайдай А. В. Метод Мелера-Фока в контактных задачах теории упругости для полупространства с круговыми линиями раздела граничных условий. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01. 02. 04 – механика деформируемого твердого тела. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Диссертация посвящена аналитическому решению ряда задач гладкого контакта для упругого полупространства: осесимметричный кольцевой штамп, два круглых штампа, круглый штамп и неподвижная жесткая полуплоскость.

Напряжения и дефомации в задаче гладкого контакта представляются согласно Папковичу и Нейберу через гармоническую в полупространстве функцию. В основе решения всех рассматриваемых задач лежит формулирование соответствующих им задач теории потенциала в тороидальных координатах с последующим применением интегрального преобразования Мелера-Фока, то есть представлением общего решения уравнения Лапласа в виде разложения в интеграл по фукциям Лежандра.

Такой подход позволяет задачу для кольцевого штампа свести к парной системе двух интегральных уравнений, а не трех, как при применении преобразование Ханкеля в цилиндрических координатах. Парные уравнения, выделяя в явном виде решение для круглого штампа без отверстия, приводятся к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с регулярным ядром. Предложено аналитическое решение этого уравнения, основанное на апроксимации ядра вырожденным. При этом погрешность решения гарантированно меньше 1% для отверстий кольцевого штампа не более половины его внешнего радиуса b. Для больших (до 0. 999 b) отверстий уравнение Фредгольма решается с достижением той же точности методом последовательных приближений. Выведены квадратурные формулы для контактных напряжений (построена эпюра) и силы вдавливания штампа (построена ее зависимость от радиуса отверстия).

В задаче для двух круглых штампов примененяется обобщенное преобразование Мелера-Фока, то есть гармоническая функция задачи подается в виде разложения в ряд Фурье и в интеграл по присоединенным фукциям Лежандра. При этом для k-й гармоники ряда Фурье для двух неизвестных плотностей разложения в интеграл Мелера приходим к парной системе четырех уравнений, которая сводится к системе двух уравнений Фредгольма II рода. Ядро уравнений регулярно и одинаково для всех k, меняются только правые части, которые зависят от k неизвестных констант. Константы находятся после решения самих уравнений из енергетических условий интегрируемости контактных напряжений на краях штампов.

Более детально рассмотрены штампы с равными радиусами и осадками. Этот случай приводит к одному для каждого k уравнению Фредгольма, которое решается аналитически, апроксимируя ядро вырожденным. При этом точность решения в 1% достигается для расстояний между штампами не менее их радиуса. Неизвестные константы находятся из СЛАР k×k.

Получены в виде квадратур от решений уравнений Фредгольма формулы для контактных напряжений, коэфициентов их интенсивности, силы вдавливания штампов в полупространство, а также момент, приложенный к штампам для удержания их от поворота. Построены соответственные графики.

Используя математическую аналогию между задачами теории упругости для несжимаемого материала и задачами течений вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса, полученные решения переносятся на задачи Стокса для кольцевой пластинки и для двух дисков. В обоих случаях найдены поля скоростей, гидродинамического давления, вихря скорости. Найден поток через отверстие кольца в зависимости от его ширины. Построены линии тока, изобары, линии уровня вихря.

Как частный случай задачи о двух круглых штампах при устремлении радиуса одного из них к бесконечности впервые решена задача о гладком контакте круглого штампа с упругим полупространством, подкрепленным на границе жесткой неподвижной полуплоскостью. Из того, что нормальные перемещения на половине границы полупространства, которая соответствует полной координатной поверхности в тороидальных координатах, равны 0, сразу же получаем связь между неизвестными плотностями разложения в интеграл Мелера. Это приводит для каждого k к одному уравнению Фредгольма похожего вида, которое решается аналогично. Выражения основных механических характеристик для штампа остаются в силе (но решение уравнения Фредгольма – уже другое), а их выражения для полуплоскости получаются аналогичным способом.

Ключевые слова: кольцевой штамп, два круглых штампа, тороидальные координаты, преобразование Мелера-Фока, аналитическое решение, контактные напряжения, коефициент интенсивности, задача Стокса, гидродинамическое давление и вихрь.

Hayday A. V. Mehler-Fok method in elasticity theory contact problems for a half-space with circle lines separating boundary conditions. – Manuscript.

Thesis for a Candidate Degree in Physics and Mathematics by speciality 01. 02. 04 – Mechanics of Solids. Kyiv Taras Shevchenko National University. – Kyiv, 2002.

The Dissertation is devoted to the analytical solving of a number of problems of smooth contact with elastic half-space: circular annulus punch, two circular punches, circular punch and rigid motionless half-plane. All of the problems are solved, using Mehler-Fok Integral Transformation in thoroidal coordinates and Coupled Integral Equation Theory for this transformation. One or system of two Second Kind Fredholm Integral Equations with regular Kernel was derived in each of the problems. These equations have been analytically solved by means of approximation of their Kernel with Degenerated one. The formulas have been obtained and the values have been calculated for Contact Stresses, Stress Intensity Factors, Force and Moment of Force applied to the punches. Using mathematical analogy, Stokes Problems for the flows past circular annulus plate and past two circular disks have been solved as well. Velocities, hydrodynamical pressure and vorticity have been found in the flow around. The Streamlines and Izobars have been built.

Key Words: circular annulus punch, two circular punches, thoroidal coordinates, Mehler-Fok Transformation, analytical solution, Contact Stresses, Stress Intensity Factors, Stokes Problem, hydrodynamical pressure and vorticity.