Метод Мелера-Фока у контактних задачах теорії пружності для півпростору з круговими лініями розділу граничних умов

Постановка задачі повторює постановку для кільцевого штампа: рівняння Ламе (1) і стандартні граничні умови гладкого контакту. Згідно з поданням Папковича-Нейбера, яке перепишемо з урахуванням нової орієнтації ПДСК, маємо переміщення і напруження через гармонічну у півпросторі функцію ω і пов’язану з нею ω1 (ω1/х = ω) :

Граничні умови для ω в тороїдальних координатах мають вигляд:

Пружний півпростір будемо розглядати як просторовий клин з кутом розхилу π. Отже, загальний розв’язок рівняння Лапласа (2ω = 0) виберемо у відповідній формі, яка з урахуванням парності задачі по змінній η і після заміни іншої змінної cthξ = chα (при цьому chξ = cthα, shξ = 1/shα) набуває вигляду:

Підстановка (20) в умови (19) і використання формул для визначення коефіцієнтів ряду Фурьє по cos kη дає парну систему інтегральних рівнянь:

де λ0 = 1, λk = 2 (k  1).

Невідомі густини ak (τ) та bk (τ) шукаємо у вигляді

який тотожно задовольняє однорідні рівняння з (21). А при підстановці (22) в неоднорідні рівняння з (21) після k-кратного інтегрування отриманих рівностей по shα dα у межах від 0 до α, використовуючи (28), зміну порядку інтегрування і значення розривного інтеграла Мелера, приходимо до рівнянь типу Абеля. Точний розв’язок останніх дає систему рівнянь Фредгольма другого роду:

Ядро системи можна знову ж замінити близьким до нього виродженим:

що дозволить розв’язати систему (23) аналітично. До пошуку аналітичного розвязку спонукає також і те, що праві частини (23) залежать від k невідомих констант. Вони з’явились під час k-кратного інтегрування і знаходяться із енергетичних умов інтегровності контактних напружень на краях штампів:

для користування якими необхідно мати розв’язок (23) і його похідні.

Для спрощення подальших викладок обмежимось випадком, коли штампи мають однакові радіуси (R = R0, α = α0) і осадки (V = V0). У цьому разі задача набуває симетрії відносно осі Oz, тобто парності по кординаті φ, з якої слідує, що bk (τ)  0, Фk (x) = Фk (x), fk (x) = fk (x). Отже, тепер для кожного k маємо єдине рівняння (23) з виродженим ядром (24).

Його розв’язок подамо у вигляді лінійної комбінації k невідомих сталих: де Kn (x) – досить громіздкі, але аналітичні вирази, які до того ж містять тільки елементарні функції, а отже нескладно диференціюються, а це дає змогу записати (25) у вигляді СЛАР для визначення сn (k). Ці константи знаходяться зі СЛАР аналітично, як функції параметра α0, який відповідає за відстань між штампами. Таким чином, отримано наближений аналітичний розв’язок (23) в явній залежності від параметра α0. Похибка розв’язку від заміни ядра виродженим гарантовано менша 1% для α0  0. 8, тобто для відстані між штампами не менше їхнього радіуса (d  R0). Самі розв’язки для d = R0:

Контактні напруження знаходяться відповідно до (18) при х = 0 (φ =  π /2). Для цього (22) при bk (τ)  0 підставляємо в (20) і використовуємо формулу:

Тоді з урахуванням значення розривного інтеграла Мелера маємо:

k-ту похідну по chα від квадратних дужок знайдемо інтегруючи частинами k раз, вносячи кожного разу одну похідну по chα під знак інтеграла. У результаті отримуємо формулу, яка містить неінтегровні особливості порядку -3/2 і вище. Прирівнюючи коефіцієнти при них до 0, отримуємо умови (25). Позначивши, контактні напруження (рис. 8) набувають вигляду:

Внаслідок викривлення епюри контактних напружень до штампів для їх вдавлювання без перекосу необхідно прикласти зусилля, які мають не тільки головний вектор, а й головний момент. Для їх знаходження необхідно проінтегрувати σx та у•σx відповідно по підошві штампа. Потрійні інтеграли, які при цьому виникають, вдалося згорнути до однократних:

де Mz – момент відносно осі, що проходить через центр штампа паралельно Oz. Mz виявився таким, що намагається нахилити штампи один від одного, тобто якщо момент не прикладати, то штампи нахилилися б один до одного. При збільшенні відстані між штампами Px прямує до 4m (m -1) -1R0GV0, а Mz – до 0, тобто – до значень, які відповідають одинокому штампу.

Розв’язок задачі Стокса про обтікання двох дисків отримується зі щойно розв’язаної (лише при рівних осадках штампів) покладанням числа Пуасона m = 2. При цьому для знаходження поля швидкостей і гідродинамічного тиску (18) необхідно знайти гармонічну функцію задачі у просторі. Її вираз після певних спрощень і позначення β = t+ iφ набуває вигляду:

У п’ятому розділі вперше розв’язується задача про дію гладкого круглого штампа на пружний півпростір, половина границі якого прикріплена до абсолютно жорсткої нерухомої півплощини. Прикріплення до півплощини також гладке, тобто точки півпростору можуть вільно по ній ковзати. У цьому випадку дотичні напруження відсутні на всій границі півпростору і задача розглядається як частинний випадок задачі про два круглих штампи, коли один із них (на рис. 12 – лівий) має осадку