Методи аналізу коливань і стійкості континуально-дискретних механічних систем з нерівномірно розподіленими параметрами

Метод характеристичних рядів грунтується на якісно нових способах побудови загальних розв? язків і характеристичних визначників відповідних крайових задач у вигляді рядів. Вказані способи базуються на фундаментальній властивості функції Коші (функції впливу). До наступного визначення нижчих частот і критичних значень навантажень при дивергенції та флатері застосовуються двосторонні оцінки, що залежать від коефіцієнтів відповідних рядів.

У загальному випадку характеристичне рівняння можна побудувати у вигляді

 

 , (1)

 

де? – характеристичний показник, Ak – коефіцієнти характеристичного ряду.

Дослідження систем зі змінним розподілом параметрів найчастіше базується на лінійному диференціальному рівнянні:

 

 ,  , (2)

 

коефіцієнти і права частина якого є неперервними функціями, а p0 (x) > 0. Функцією Коші K (x, α) φього рівняння називають залежний від параметра? (α  [a, b]) розв? язок відповідного однорідного рівняння L[y] = 0, який задовольняє такі умови для x = α:

 

  ...  ,   (3)

 

Як відомо, функція Коші існує та є єдиною, причому частковий розв'язок неоднорідного рівняння (1) можна визначати за формулою

 

 . (4)

 

Фундаментальна властивість функції K (x, α) οолягає в тому, що вона разом з її послідовними частковими похідними за параметром? до n-1-ої включно завжди утворює фундаментальну систему розв? язків рівняння L[y] = 0; а тому, беручи до уваги (4), загальний інтеграл рівняння (2) можна побудувати, маючи одну цю функцію K (x, α). Δобуток функцій Коші на одиничну функцію Хевісайда K (x, α)? Θ (x-α) νазивається функцією впливу або фундаментальним розв? язком і задовольняє, як відомо, рівняння L[y] = δ (x – α), δе? (x) – дельта-функція Дірака.

На цій основі розроблено якісно нові способи побудови загальних інтегралів диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, що можуть мати особливості типу імпульсних функцій. Загальні інтеграли останніх залежать тільки від функції впливу, її похідних та характеристик особливостей, що дуже істотно в задачах статики й динаміки континуально-дискретних систем (умови спряження при цьому не вимагаються).

Ефективним методом розрахунку коливань складених довгомірних континуально-дискретних систем є також метод початкових параметрів. Із застосуванням функцій впливу запропоновано матричний варіант цього методу. Побудовано відповідні матриці впливу жорсткостей і податностей, а також перехідні матриці. Зокрема, встановлено зручні розрахункові формули для визначення коефіцієнтів впливу податності систем з довільним допустимим ступінчасто-змінним законом розподілу згинної жорсткості. Показано, що застосування цих формул є ефективним і економічним, значно зменшуючи потреби машинного часу на ЕОМ.

Проте, використання методу характеристичних рядів із застосуванням функцій впливу вимагає подальшого розвитку в напрямку його пристосування до інженерних цілей.

У другому роздiлі сформульовано i розв'язано крайову задачу на згинальні коливання пружно опертої балки з нерівномірно розподіленими масою, згинною жорсткістю, навантаженням та жорсткістю основи. Крім цього, вважається, що система має дискретні включення, такі як зосереджені маси та пружні опори. Модель балки подано на рис. 1, де f (x) – згинна жорсткість; (x) – погонна маса; k (x) – жорсткість пружної основи; p (x) – поздовжнє навантаження; b (x) – коефіцієнт зовнішнього в'язкого тертя; Mi, bi, ci – дискретні включення в неперервний розподіл маси, у зовнішнє тертя та в жорсткість основи, зосереджені в точках з координатами xі; k0, 0, k1, 1 – квазіпружні коефіцієнти опор і закріплень; l – довжина балки; x, y – координатні осі.

Дослідження малих згинальних коливань системи зводиться до розв'язування крайової задачі для рівняння:

де

 

 ,

 

функції 22, F22, F4, F02 є певними комбінаціями функцій впливу (x, α) ςа їх похідних по x і? ; a, b, c, d, e залежать від параметрів системи.

Під час виведення рівняння (6) прийнято, що =0 та використано властивості функцій впливу (x, α), ωо значно спростило перетворення. У випадках, що часто зустрічаються в інженерній практиці, рівняння (6) суттєво спрощується.

Шляхом відповідних перетворень отримано перші коефіцієнти характеристичного ряду в замкнутій формi, наприклад, для конусної консолi з зосередженою на вільному кінці масою, перший коефіцієнт визначається виразом

У випадку, коли зосереджена маса M є значно більшою від розподіленої маси балки, отримуємо формулу квадрата власної частоти для системи з одним ступенем вільності:

З урахуванням пружно-інерційних характеристик однорідних конусних і клинових балок дослiджується вплив геометрiї i статичних навантажень на власні частоти i форми коливань механічної системи.

В 2. 6-2. 7 розроблено методику аналітичного розв'язування аналогічної задачі для консолі змінного поперечного перерізу з неоднорідними властивостями матеріалу. З цією метою використовується метод часткової дискретизації.

Детально розглядається модель конусної консолі, що складається з двох елементів, виготовлених із різних матеріалів. Отримані аналогічні залежності мають універсальний характер і є придатними для аналізу багатоелементних балок.