Методи аналізу коливань і стійкості континуально-дискретних механічних систем з нерівномірно розподіленими параметрами

Диференціальні рівняння малих згинних коливань безмасової консолі з закріпленими на ній зосередженими масами записуємо у так званій оберненій формі

де, Mi – маса, зосереджена в точці x = xi, yi = y (xi, t) – узагальнена координата; ij – коефіцієнти впливу; t – час.

Послідовно коефіцієнти характеристичного рівняння визначаються за

Застосування методу дискретизації до аналізу згинальних коливань багатошарового конуса, виконаного з двох елементів, виготовлених з різних матеріалів, дало можливість отримати добре наближення до результатів, знайдених на основі точних залежностей для однорідного конуса. Порівняльний аналіз результатів обчислень оцінок основної частоти, отриманих методом функцій впливу і методом дискретизації, свідчить про універсальність і достатню точність методу дискретизації. Зі значно меншими затратами праці цим методом отримано чотири коефіцієнти характеристичного ряду, які забезпечили точність визначення основної частоти з похибкою, що не перевищує 1, 5%. За допомогою методу дискретизації можна відшукувати другу і більш високі частоти вільних коливань. Він є достатньо ефективним і при урахуванні таких додаткових параметрів як поздовжнє навантаження і пружність основи. Розроблені також алгоритми розрахунку консолей з кусково-сталими параметрами, що грунтуються на такій формулі:

 

 

 

Цю формулу застосовано до розрахунку систем з кусково-змінними пружно-інерційними характеристиками.

У розділі 3 метод функцій впливу поширюється на знаходження лiнiй прогину i дослiдження стiйкостi стержнiв. Цей підхід грунтується на математичнiй подібностi диференціальних рівнянь, що описують коливання і статичні деформації балок. Відповідні рівняння мають один і той же четвертий порядок, змінні коефіцієнти, а також дельта-функції у правій частині.

На рисунку 2 зображено модель балки, яка згинається одночасно двома зовнішніми силами G і P, що діють у поперечному та поздовжньому напрямах відповідно. Сила Р прикладена до вільного правого кінця стержня (x = b). Лівий кінець (x = x1 = a) є шарнірно опертим; в точці x = x2 розміщена пружна опора зі сталою жорсткістю c. Згинна жорсткість стержня f (x) =EI (x) визначається з урахуванням змінності моменту інерції поперечного перерізу балки. Вимагається, щоб функція f (x) -1 була інтегрованою і додатною на відрізку [a, b].

Аналіз деформації згину цієї балки зводиться до розв'язування рівняння

 

 , (14)

 

за крайових умов

де L[y] = (fy)  + Py;  – дельта-функція Дірака; R – реакція опори.

Для пружної опори з жорсткістю с виконується залежність:

 

 . (16)

 

Розв'язок задачі (14) – (16), одержаний методом функції впливу, дає можливість забезпечити достатню точність розрахунку на стійкість таких висотних конструкцій, як вежі, щогли, башти тощо.

Розглядається розрахункова модель однорідного консольного конуса, навантаженого силами власної ваги (рис. 3), де x – поздовжня вісь консолі; R, r – радіуси нижньої і верхньої основ; H – висота конуса; z (x) – змінний радіус поперечного перерізу; I (x) – змінний момент інерції поперечного перерізу. Вводиться параметр збіжності k = (R-r) /H, тоді

 

 . (17)

 

Об'єм стержня та осьовий момент інерції його поперечного перерізу визначаємо за формулами:

Для повного конуса (r/R>0) і для циліндра отримані вартості узгоджуються з відомими. Метод функцiй впливу поширюється на розв'язування крайової задачі для континуально-дискретної одно- або двопараметричної пружної системи зі змінними характеристиками поперечного перерізу та змінним осьовим навантаженням. В результаті отримується характеристичне рівняння, з якого можна визначити власні частоти, критичні навантаження за Ейлером, а також досліджувати вплив осьових навантажень на частоти вільних коливань.

Розрахункову модель досліджуваної консолі подано на рис. 4.

Під час розв'язування задачі використано позначення: G i H – консервативна і слідкуюча сили, зосереджені на вільному кінці консолі; M – зосереджена маса, закріплена на відстані x1 від місця защемлення; І0 – момент інерції перерізу, розташованого безпосередньо біля опори; m0 – погонна маса, визначена для тієї ж поздовжньої координати стержня, що і параметр І0.

На основі розробленої методики детально розглянуто модель, утворену вертикальним стержнем, встановленим на шарнірно-пружній опорі і навантаженим силами власної ваги. Систему координат розташовано так, що її початок розміщений на вільному кінці стержня. Це дає можливість значно спростити характеристичне рівняння.

Крайову задачу сформульовано у вигляді

 

 , (29)

 ,  ,  ,  , (30)

 

Коефіцієнти характеристичного ряду (31) є швидкозбіжними степеневими рядами, тому для виконання інженерних розрахунків достатньо урахувати два-три члени. Два перші корені згаданого рівняння обчислені ітераційним методом і дають першу та другу власні частоти системи.

З метою дослідження несучих металоконструкцій, що складаються з декількох секцій, виготовлених у вигляді стержнів або ферм, шарнірно з'єднаних між собою, у роздiлi 4 розроблено методику розрахунку вільних коливань системи шарнірно зчленованих балок Тимошенка. Пружно-інерційні характеристики елементів (секцій) у більшості випадків залежать від поздовжніх координат. Раціональною розрахунковою моделлю таких елементів є суцільний прямолінійний стержень, для якого згідно з теорією балок С. П. Тимошенка враховуються деформації зсуву та інерція обертального руху поперечних перерізів. Несучі металоконструкції в процесі експлуатації переважно перебувають під дією стаціонарних динамічних навантажень. Тому запобігання резонансним