Розроблення аналітико – числових методів розв’язування крайових задач теорії дифракції для конічних, клиноподібних та циліндричних областей

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. В роботах, опублікованих у співавторстві [1, 2, 6, 8, 10, 17, 18, 21, 25, 27], здобувачем самостійно розроблено методи розв’язання задач дифракції, проведено аналітичні дослідження, створено програмне забезпечення, отримано числові результати, прийнято участь в обговоренні фізичних результатів і формулюванні висновків; у роботах [4, 9, 26, 28-33] здобувачу належить ідея модифікації методу, постановка задач, проведення аналітичних досліджень, та участь в обговоренні результатів і формулюванні висновків.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на міжнародних конференціях “Mathematical Methods in Electromagnetic Theory” (Алушта, 1991; Львів, 1996; Харків, 1998, 2000), на наукових семінарах “Прямі та обернені задачі теорії електромагнітних та акустичних хвиль” (Львів-Брюховичі, 1990, 1995, 1997, 1999; Тбілісі, 1998), на міжнародних симпозіумах “Методи дискретних особливостей в задачах математичної фізики” (Харків, 1993; Феодосія, 1997), на Всеукраїнській науковій конференції “Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях” (Львів, 1995), на Симпозіумі з електромагнітної теорії (Ямагучі, Японія, 1997; Нікко, Японія 1998, Токіо, Японія 2000), на Генеральній Асамблеї URSI (Торонто, Канада, 1999), на міжнародному робочому семінарі “Прямі та обернені задачі розсіювання хвиль” (Гебзе, Туреччина, 2000), на міжнародних конференціях “PIERS 2001, Progress in Electromagnetics Research Symposium” (Осака, Японія, 2001), “2001 Asia-Pacific Radio Science Conference” (Токіо, Японія, 2001), на міжнародному робочому семінарі “Advance Electromagnetics” (Токіо, Японія, 2001). За результатами дисертаційної роботи прочитано лекції в Чуо Університеті, Токіо, Японія, 1997, 2000, окремі результати роботи лягли в основу лекцій, прочитаних автором у Ніхон та Токіо Університетах (Токіо, Японія, 1997, 2000), а також у Кумамото Університеті (Кумамото, Японія, 1997). Робота [28], що лягла в основу доповіді на міжнародній конференції ”Mathematical Methods in Electromagnetic Theory” (Харків, 1998), була нагороджена премією ім. В. Г. Сологуба за вагомий внесок у розвиток аналітичних методів регуляризації в обчислювальній електродинаміці.

Публікації. За результатами роботи після захисту кандидатської дисертації автором опубліковано: монографій 1, окремих розділів у довідниковому посібнику – 1, статей у наукових журналах і збірниках – 22 (з них самостійних – 14), статей у збірниках праць закордонних наукових інститутів – 1, праць у матеріалах міжнародних конференцій – 8.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів висновків, списку використаних джерел на 26с., рисунків на 48с. Загальний обсяг дисертації 360 с.

 

 

Вступ містить загальну характеристику стану проблеми, обгрунтування необхідності проведення досліджень за темою дисертації та їх актуальність. В ньому сформульовані мета та задачі дисертаційної роботи, визначено новизну і практичну цінність отриманих результатів.

У першому розділі проведено огляд літературних даних. Проаналізовано аналітико-числові підходи, які використовуються для дослідження стаціонарних задач дифракції електромагнітних та акустичних хвиль на конічних, клиноподібних та циліндричних поверхнях, а також методи, які використовуються при дослідженні близьких задач, що виникають у теорії пружності. З огляду літератури зроблено висновок, що відомі методи не дозволяють розв’язати сформульовані в дисертації задачі, а саме: врахувати строгими методами дифракційну взаємодію сукупності елементів вказаних канонічних поверхонь її векторний характер та наявність границь розділу середовищ. Для вирішення цієї проблеми в дисертації розроблено нові аналітико-числові підходи до розв’язування стаціонарних задач теорії дифракції, що базуються на ідеї “напівобертання” (розділи II-V) та на ідеях, пов’язаних з використанням методу Вінера-Хопфа (розділ VI). Вони орієнтовані на розв’язання задач дифракції для структур, що містять елементи канонічних поверхонь з різними типами геометричних сингулярностей.

Другий розділ присвячено розробленню математично строгого методу розв’язання парних суматорних рівнянь скалярних крайових задач дифракції на ідеальних (провідних, жорстких та м’яких у випадку звукових хвиль) кругових конусах з краєм (скінчений конус і конус зі зрізаною вершиною), які в загальному випадку містять ряди приєднаних функцій Лежандра   з невідомими коефіцієнтами розкладу, де   – корені трансцендентних рівнянь ( ), що характеризують модовий склад поля в конічних областях та вільному просторі. Їх виведення базується на зображенні скалярних потенціалів задач дифракції рядами власних функцій рівняння Гельмгольца в сферичній системі координат і на використанні методу спряження полів (компонент, потенціалів) на уявних сферичних поверхнях, що проходять через краї конусів.

Основна ідея, яка вперше запропонована в дисертації для розв’язання такого типу суматорних рівнянь, полягає в тому, щоб ряди приєднаних функцій Лежандра в цих рівняннях замінити сумами, які враховують скінчену кількість мод (  – у вільному просторі та   і   – в конічних областях,  ) і встановити правило граничного переходу параметрів редукції рядів  ,  ,    , при якому розв’язки цих рівнянь забезпечать виконання умов Мейкснера на краях. Спочатку суматорні рівняння досліджено в статичній границі ( ,   – хвильове число). Використовуючи формули перерозкладу, вони зведені до