Статика на площині та в просторі

1.1.6. При розв'язанні задач статики про рівновагу кількість невідомих не повинна перевищувати кількості рівнянь рівноваги – це означає, що задача має бути статично означеною. Якщо ж невідомих більше кількості рівнянь рівноваги, то таку статично неозначену задачу неможливо розв'язати методами теоретичної механіки: ці задачі розв'язують методами опору матеріалів, додаючи до рівнянь рівноваги зі статики рівняння деформацій.

     Приклад 1.1 Визначити аналітично та геометрично ( або графічно ) реакції в'язей абсолютно твердого тіла (рис.1.2). При розрахунках власною вагою тіла та його поперечним розміром знехтувати.

 

    Дано :

     а = 2 м,

     b = 3 м,

        R = 3,7 кН,

   β =300 

         

    F - ? , S - ?

 

 

 

 

 

Рис.1.2

Розглянемо рівновагу абсолютно твердого тіла. На нього діє лише одна активна сила . Ідеальний стержень ВС та нерухомий шарнір А є в'язями для цього тіла. Звільняємося від в'язей , замінивши їх дію реакціями в'язей : зусилля    у стержні напрямлене уздовж нього , а лінія дії реакції  визначаємо на основі теореми про три сили (1.1.4) , тому що напрям реакції шарнірно нерухомої опори А заздалегідь невідомий . Продовжуємо

лінії  дії  сили   і реакції  стержня ВС  до  перетину  в  точці  Д  (рис.1.3), 

з'єднуємо точку прикладання реакції шарніра А з точкою Д і отримуємо лінію дії реакції   опори А . Щоб визначити дійсний напрям реакцій  та   будуємо силовий трикутник (рис.1.4). Його побудову починаємо з активної сили   , точний  напрям  якої  відомий.  З  довільної  точки  С  проводимо 

 

Рис.1.3         Рис.1.4

паралельно силі   лінію СЕ довільної довжини , що зображує силу   . Через початок С  та кінець Е  вектора   проводимо прямі , які паралельні прямим АД (лінія дії реакції ) та ВМ (лінія дії реакції  , рис.1.3)    до їх перетину в точці L : отриманий трикутник називається силовим . Обходячи трикутник CELC по контуру , починаючи з сили   , визначаємо дійсні  напрямки сил   та  : силовий трикутник при рівновазі збіжної системи сил замкнений (див. 1.1.1). Зображаємо сили  та   на рис.1.3.  

Вибір осей координат ХОУ показаний на рис.1.3. 

Аналізуючи розрахункову схему (рис.1.3), робимо висновок , що на тіло діє збіжна система сил на площині і рівняння рівноваги для неї мають вигляд (1.2) :

  ;  ; 

  ;   .

Розв'язуючи отриману систему рівнянь , визначаємо шукані величини:

F=Rsinα/cosβ  ;   

Обчислимо величину кута  , який був введений нами для визначення напряму реакції   нерухомого шарніра А . Робимо додаткові побудови на рис.1.3 і знаходимо :

  ;   ;  .

У подальшому можна визначити або кут  , або скористатися залежностями :

  ;   .

Підставляючи цифрові дані , маємо :

  ;   ;   ;  ;

   (кН); (кН).

Перевіримо отриманий аналітично розв'язок за допомогою силового трикутника (рис.1.4).

Якщо такий трикутник побудований у масштабі , то невідомі величини можна визначити шляхом їх виміру , тобто знайти графічно . Якщо побудова приблизна , то невідомі зусилля знаходимо на підставі теореми синусів :

  , звідси

  (кН) ;  (кН).

зусилляаналіт.геометр.похибка

F

S4,000

3,3094,000

3,3070,00%

0,06%

Відповідь  

 

 

1.2.1. Якщо система сил еквівалентна нулю, то кажуть, що система сил зрівноважена, тобто тіло під її дією знаходиться в рівновазі.

Для рівноваги довільної системи сил на площині необхідно і достатньо, щоб головний вектор   та головний момент Mo цієї системи відносно довільного центра O одночасно дорівнювали нулю:

   ;       .              (1.3)

Виходячи з умов (1.3), отримуємо рівняння рівноваги довільної системи сил на площині, які можна записати в трьох рівноправних формах.

Перша (основна) форма умов рівноваги: для рівноваги довільної системи сил на площині необхідно та достатньо, щоб алгебраїчні суми проекцій всіх сил на кожну з двох координатних осей X,Y та алгебраїчна сума моментів цих сил відносно довільної точки О, що лежить в площині дії сил, дорівнювали нулю: 

       ;  ;  ;                                  (1.4)

Друга форма умов рівноваги:

 ;  ;  ;  .                          (1.5)

Третя форма умов рівноваги (A,B,C довільні точки площини, які не лежать на одній прямій):