Статика на площині та в просторі

Приклад 1.5. Дві рами (рис.1.12,а) шарнірно з'єднані між собою в точці С і кожна з них відповідно шарнірно закріплена в точках А та В шарнірно-нерухомими опорами. На систему діють сила  , пара сил з моментом М та рівномірно розподілене навантаження інтенсивності q. Визначити реакції опор А, В і тиск в шарнірі С, якщо  кH,  кHм,  кH/м,  м,  м, α=45◦ Зробити перевірку.

Розв'язaння. Розглянемо рівновагу кожної рами окремо (рис.1.12,б): роз'єднаємо складену конструкцію в шарнірі С на дві частини, взаємодію

 

яких зобразимо сиилами  ,  . В'язі в точках А та В (шарнірно нерухомі опори) замінимо відповідно складовими   та  ,   та   реакцій в'язей. Силу   розкладаємо на складові   та  , що в подальшому надасть можливість використати теорему Вариньйона (п.1.2.5) при обчисленні моментів від сили  . Дію рівномірно розподіленого навантаження інтенсивності   заміняємо (п.1.2.4)

зосередженою силою  : кH. Розрахункова  схема  зображена

на рис 1.12,б.

На кожну раму діє плоска довільна система сил, тому для кожної рами складаємо по три незалежних рівняння рівноваги:

рама АДС     ;  ;                        (1)  

                      ;      ;                               (2)

                       ; ;              (3)

рама СКВ       ;         ;                                 (4)

                  ;         ;                                          (5)

                  ; ;                  (6)

Зауважимо, що коли дві шарнірно нерухомі опори розташовані на різних рівнях (рис.1.12,а), то рівняння моментів слід складати саме відносно точок, в яких розташовані ці опори, що дає можливість легко розв'язати систему шести рівнянь, починаючи з рівнянь (3) та (6): два рівняння і дві невідомих  ,  . В нашому випадку досить відняти від третього рівняння шосте:

 , звідси:

 (кH);

тоді з рівняння (6):  (кH).

Подальше розв'язання очевидне:

з (1)  (кH), з (2)  (кH),

з (4)  (кH),        з (5)  (кH).

Перевіримо отриманий розв'язок (для всієї конструкції):

 

 .

Реакції знайдено правильно.

Відповідь:   кH,  кH,  кH,  кH,   кH,  кH (складові  ,   мають напрям протилежний зображеному на рис.1.12,б).

Приклад 1.6.  Для підйому вагонетки по нахиленій площині з кутом нахилу   (рис.1.13) використовується коловорот з гальмом. На барабан радіуса   намотано стальний канат, який прикріплений до вагонетки. До барабана концентрично прикріплене стальне колесо радіуса  , яке гальмують, притискуючи дерев'яну колодку   до колеса, натиснувши на кінець важеля АВ. Визначити найменшу силу  , яка зрівноважує вагонетку вагою  , якщо коефіцієнт тертя вагонетки дерева по сталі  ; коефіцієнт тертя вагонетки по площині  ;  м;  м;  м;  кH. Визначити  також реакції  опор  О  та  А, 

якщо вага барабана з колесом  кH.

Розв'язання. Складена конструкція (рис.1.13) складається з трьох тіл, рівновагу яких послідовно розглядаємо: вагонетки Р (рис.1.14а), барабана з колесом (рис.1.14,в) та важеля АВ (рис.1.14,б).

На вагонетку, яку приймаємо за матеріальну точку, діє її власна вага  ; в'язями для неї є шорстка нахилена поверхня та стальний трос, дію яких заміняємо нормальною реакцією  , силою тертя   та натягом  . Таким чином, на вагонетку діє плоска система збіжних сил, незалежних рівнянь рівноваги два (1.2):

 

 ;  , звідси  кH;

 ;  ,

звідси 

 

 

 (кH), бо   (1.9).

Розглянемо рівновагу барабана з колесом (рис.1.14,в), в'язями для яких є стальний трос, шарнірно-нерухома опора О та шорстка колодка К. Гнучка в'язь (трос) працює на розтяг і  , бо це є сили взаємодії між вагонеткою і барабаном. Під дією сили   барабан з колесом може обертатись навколо шарніра О проти годинникової стрілки. Цьому обертанню перешкоджає гальмівна дія колодки К: нормальна сила   та сила тертя  , напрям якої протилежний напряму можливого  (під дією троса) руху колеса відносно колодки.

 На барабан з колесом діють також складові  ,   реакції шарнірно-нерухомої опори О та активна сила   (власна вага). Маємо плоску довільну систему сил, рівнянь рівноваги три (1.4):

 ;         ;

 ;         ;

 ;   ,

звідси  кH;  кH.

Розглянемо рівновагу важеля АВ з колодкою К і разом вони являють одне тіло. На важіль крім невідомої сили