Статика на площині та в просторі

        

При складанні рівнянь (4)…(6) було враховано, що сила, яка паралельна осі або перетинає її, моменту відносно цієї осі не дає (п.2.3.2).

Розв'язуємо систему рівнянь (1) - (6).

 

 Відповідь:  

 

Напрямки складових   протилежні  напрямкам, які були для них вибрані на рис. 2.4.

Приклад 2.3. З умов рівноваги однорідної плити вагою Р визначити реакції в'язей (рис. 2.5), якщо АВ=4 м, СВ=3 м, ВК=(АВ+СВ)/2, q=4 кН/м, Р=8 кН.

Розв'язання. Розглянемо рівновагу плити ABCD. В'язями для неї є три ідеальні стержні 1, 2, 3 та сферичний (кульовий) шарнір С.

На плиту діють активні сили   (власна вага однорідної плити прикладена в центрі її ваги) та  

( 

прикладена на віддалі AD/3 від точки D і лежить в площині плити). Звільняємось від в'язей та замінюємо їх дію реакціями в'язей: реакції  ідеальних              стержнів 

Рис. 2.5

  напрямлені вздовж стержнів (рис. 2.5); реакцію кульового шарніра С зображаємо трьома складовими  , бо ця реакція невідома ні за величиною, ні за напрямком. Осі координат вибираємо так, як показано на рис. 2.5.

На плиту діє довільна просторова система сил. Складемо шість рівнянь рівноваги (2.3), попередньо розклавши силу   на складові (п. 2.3.3): 

     де

  (м);

 (м).

Маємо:

                    

При складанні рівнянь (4)…(6) було враховано, що сила, яка  паралельна осі або перетинає її, моменту відносно цієї осі не дає (п.2.3.2).

       

Відповідь:  

Знаки «мінус» показують, що напрямки зусиль   протилежні напрямкам, які були для них вибрані на рис. 2.5.

 

 

 

Координати центра ваги однорідної плоскої фігури визначаються за формулами:

 ,           ,                                    (3.1)

де   - площа j-тої частини тіла,

       - координати центра ваги j-тої частини тіла.

При визначенні координат центра ваги тіла необхідно пам'ятати:

а) якщо плоске однорідне тіло  має вісь або центр симетрії, то центр ваги знаходиться або на осі симетрії, або в центрі симетрії;

б) якщо плоске тіло має складну геометричну форму, то його поділяють (якщо це можливо) на частини, у яких положення їх центра ваги легко знайти;

в)  якщо тіло має пустоти (вирізи,  отвори  тощо),  то  відповідні  їм  площини 

вважають від'ємними;

г)  іноді доцільно доповнити задане тіло новими елементами, що полегшує розв'язання задачі: всю площину нового тіла вважають додатною, а площини 

доданих елементів – від'ємними.

 

 

поділити складну плоску фігуру на мінімальну кількість простих фігур, у яких положення центра ваги легко знайти;

вибрати систему координат: бажано, щоб тіло розташовувалось у першому квадранті;

записати формули (3.1) для визначення координат центра ваги плоскої фігури;

визначити величини, які входять в (3.1);

визначити координати  ,   центра ваги тіла (розрахунок можна вести в табличній формі – див., наприклад, табл. 3.1).

 

Приклад 3.1. Визначити центр ваги плоскої однорідної пластинки (рис.3.1,а), якщо  м,  м,  м.

 Розв'язання: Для знаходження центра ваги пластинки застосуємо спосіб від'ємних площин: розіб'ємо плоску фігуру на мінімальну кількість простих фігур, центри ваги яких легко знаходяться, а площини вирізів врахуємо зі знаком “мінус” у формулах (3.1). На рис.3.1,б та рис.3.1,в показано два можливих розбиття плоскої фігури на мінімальну кількість простих фігур: їх чотири у кожному випадку. Зупинимось, наприклад, на першому випадку (рис.3.1,б). Вибираємо осі координат XOY і обчислюємо складові  ,   в цій системі координат (рис.3.2)

а)  трикутник ОВК (рис.3.2,а):

 (м2),  (м),

 (м); 

б)  прямокутник КВДЕ (рис. 3.2,б): 

 (м2),  (м),  

   (м);

в)  круг радіуса r (виріз – рис. 3.2, в):

 (м2),

 (м),

 (м);

г)  чверть круга радіуса R (виріз – рис.3.1,б, рис.3.2,г):

 (м2),

 (м),

 (м),

 (м).

Координати центра ваги плоскої фігури визначимо за формулами (3.1), розрахунок проведемо  табличній формі:

 

Таблиця 3.1

Фігура

(рис.3.1, 3.2) 

м2 

м 

м3 

м 

м3

1.трикутник ОВК0,540,40,2160,60,324

2.прямокутник КВДЕ3,241,54,860,92,916

3.круг радіуса r-0,2821,2-0,3380,9-0,254

4.чверть круга R-0,6362,018-1,2830,382-0,243

 

2,8623,4552.743

За формулами (3.1) маємо:

 (м),  (м).

На рис.3.1, б зображено центр ваги плоскої фігури С (1,207; 0,958).

 

 

1. Павловський М.А. Теоретична механіка: Підручник. – К.: Техніка, 2002. – 512с.: іл.

 2. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: учеб. для втузов   12-е изд., стереотип. – Высш. шк.,  1998. -416 с.

3. Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики. Ч. І. Статика. Кинематика: учеб. для втузов. – 5-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 1977. – 368 с.

4. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: учеб. пособие. – 36-е изд., исправл. / Под ред. Н. В. Бутенина, А. И. Лурье, Д. Р. Меркина. – М.: Наука. Гл. ред. физ. – мат. лит., 1986. – 448 с.

5.  Хижняков  О.  В . Основи теоретичної механіки в прикладах і задачах.       Кінематика.  Статика.  Навч.  посібник  –  Рівне:  НУВГП.  2004. – 284с: іл. 

6. Сборник  заданий  для   курсовых   работ   по   теоретической  механике: учебн. пособие для техн. вузов / Яблонский А. А., Норейко С.С., Вольфсон С.А.  и др.  –  4-е  изд.,   перераб.   и доп . –    М.:Высш.  шк.,  1985. – 367 с.

7. Методичні рекомендації та завдання до виконання самостійної роботи з теоретичної механіки (розділ „Статика”) студентами денної форми навчання за напрямами: 0902 Інженерна механіка, 0921 Будівництво, 0926 Водні ресурси / О. В. Хижняков, Рівне : НУВГП, 2005. – 39с.

8. Методичні вказівки до виконання самостійної роботи зі “Статики” для студентів спеціальностей 6.092200, 6.090300, 6.092100, 6.092600 / Войтович Л.В., Галанзовська М.Р., Наконечний В.В – Рівне: РДТУ, 2000. – 40с.