Статика на площині та в просторі

Приклад 1.8. Визначити зусилля в усіх стержнях ферми (рис. 1.16,а) методом послідовного вирізання вузлів, якщо F = 50 кН, d = 3 м, h = 4 м,  = 45о. Розв′язання. Ферма (рис. 1.16,а) складається з шести вузлів (n = 6), дев′яти стержнів (k = 9) і умова статичної означуваності ферми k = 2n – 3 виконується.

Пронумеруємо вузли ферми від 1 до 6 (рис. 1.16,а). На ферму накладені в′язі у вигляді шарнірно-рухомої опори В (реакція RB напрямлена перпендикулярно до горизонтальної поверхні, по якій може рухатись опора) та шарнірно-нерухома опора А (напрям реакції RA заздалегідь невідомий: представляємо її двома складовими XA та YA). 

Визначимо складові реакцій опор А та В (рис.1.16, а). Для зручності силу F  розкладаємо на складові:         (кН);   .  Розглянемо рівновагу ферми як абсолютно твердого тіла. На неї діє плоска довільна система сил, незалежних рівнянь три:

     ;

                    ;

                    ;

звідси     (кН);

               (кН);

               (кН);

Перевірка: 

 .

Реакції визначено правильно.

Визначимо зусилля в стержнях ферми (рис.1.16) методом послідовного вирізання вузлів. 

Розрахунок проведено в табличній формі (табл. 1.1). Починати треба з вузла 1 або 6 (див. п. 1.4.4). Порядок вирізання вузлів, наприклад, 6, 1, 2, 5, 3, 4 (перевірочний) або 6, 5, 4, 1, 2, 3 (перевірочний). Існують і інші варіанти. В табл. 1.1 використані кути   та  (рис. 1.16,а), які обчислимо:

 ;  ;  ;  ;

 ;  ;  ;  .

Перевіримо правильність знаходження зусиль   для ферми  (рис.1.16, а) методом наскрізних перерізів.

Проведемо спочатку переріз І-І через стержні 3 – 5, 4 – 5, 4 – 6 (рис.1.16,а), пам′ятаючи, що найпростіше розв′язання отримаємо в випадку, коли переріз проходить через три стержні, осі яких не перетинаються в одній точці. Розглянемо верхню частину ферми (рис. 1.16,б), яка менш завантажена. Дію нижньої частини на верхню заміняємо реакціями стержнів, вважаючи, що стержні розтягнуті.

        Для знаходження зусилля    беремо  суму  моментів  всіх  сил,  що 

діють на верхню частину ферми, відносно  точки  4  (там перетинаються осі 

двох інших перерізаних стержнів):

                ;    ,

звідси     (кН);  

 Визначаємо зусилля в  : моментна точка в цьому випадку збігається з вузлом 5, в якому перетинаються два інших перерізаних стержня (5 – 3 та 4 – 5). Маємо:

 ;    ,

звідси  (кН);

Для знаходження   треба взяти моментну точку на перетині осей стержнів 5–3 та 6 – 4, але ці стержні паралельні між собою, тому моментна точка лежить у нескінченості. У цьому випадку спроектуємо всі сили, що діють на верхню частину ферми (рис. 1.16,б) на вісь Х, яка перпендикулярна до паралельних стержнів: 

Таблиця 1.1

ВузолСхема вузлаРівняння рівноваги.

Відповідь* (кН)

23

6S6-4, S6-5 - ?

 

 , звідси

 

S6-5=35.35,  S6-4=-35.35

 

1

 

S1-3, S1-2 - ?

 

 

 , звідси

 

S1-3=24.74,  S1-2=20.61

 

2S2-3, S2-4 - ?

 , звідси

S2-3=49.45,  S2-4=-130.2

*Студенти подають розрахунки повністю.

 

123

5S5-3, S5-4 - ?

 

 , звідси

S5-4=-58.92, S5-3=47.13

3S3-4 - ?

 

 ,

 

Звідси,  S3-4 =-26.37

 

4Перевірочний вузол

 

 

Задача розв'язана правильно

 

              

 

                ;    , 

звідси  (кН);

        Для визначення зусилля в стержні 1 – 2 проводимо переріз ІІ-ІІ (рис.1.16,а) і розглядаємо рівновагу лівої частини (рис.1.16,в). Моментна точка збігається з вузлом 3, бо в ньому перетинаються всі розрізані стержні крім шуканого. Маємо:

                ;    ,

звідси  (кН).

        Як бачимо, всі результати практично збігаються з обчисленими раніше способом вирізання вузлів (див табл. 1.1).

 

 

 

 

             (2.1)

які є умовами рівноваги просторової збіжної системи сил в аналітичній формі. 

Ці умови називають також рівняннями рівноваги, з яких шукають невідомі величини під час розв'язання конкретних задач.

2.1.2. У випадках, коли сила та вісь не лежать в одній площині, при  визначенні проекції на вісь необхідно спочатку знайти її проекцію на площину, в