Статика на площині та в просторі

 

 

Таким чином проекції вектора  на осі Ох та Оу визначені шляхом подвійного проектування.         

Приклад 2.1. З умов рівноваги вузла А визначити зусилля в трьох стержнях конструкції, що зображена на рис. 2.2.

 

Дано:

КМ=1.5 м

ВК=3 м

КС=4 м

 

Р=5 кН

 

SB – ?

SC – ?

SD – ?

 

Розв'язання. Розглянемо рівновагу вузла А. На нього діє ативна сила  . В'язями для вузла  А є три ідеальних стержні АB, АС та АД. Звільняємось від в'язей та заміняємо їх дію реакціями в'язей  ,   та  , які спрямовані вздовж осей стержнів від вузла А, тобто вважаємо, що всі стрежні розтягнуті (знак «плюс» у відповіді підтвердить наше припущення, що до окремих стержнів; знак «мінус» буде свідчити про те, що напрямок відповідної реакції протилежний вибраному та стержень стиснутий). Вибираємо систему координат, як показано на рис. 2.2.

З рис. 2.2 видно, що на вузол А діє просторова система збіжних сил, запишемо три рівняння рівноваги (2.1):

             

Тут     бо 

 м, 

  бо  м.

Розв'язуючи сумісно рівняння (а) та (в), отримуємо:

 

 

З рівняння (б) маємо:  .

Відповідь: SB=4.75 кН; SС=7.14 кН; SD=6.62 кН. Знак «плюс» свідчить про те, що напрямки реакцій в'язей  ,  ,   вибрані правильно. Зусилля в стержнях рівні за величиною знайденим реакціям та протилежні за напрямком.

 

 

Задачі на цю тему читач знайде у посібнику [5].

 

 

2.3.1.  Як відомо   [1, 2, 3], необхідними  і достатніми умовами рівноваги просторової системи сил, яка діє на тверде тіло, є одночасна рівність нулю головного вектора та головного моменту 

 

або в проекціях на осі координат маємо:

               

 

Таким чином,  для рівноваги  просторової довільної системи сил необхідно і достатньо, щоб сума проекцій всіх сил на кожну з трьох координатних осей і суми їх моментів відносно цих осей були рівні нулю. Незалежних рівнянь рівноваги в просторі в загальному випадку шість.

2.3.2. Поряд з поняттям  моменту  сили відносно  точки  (п.1.2.5)  важливим  в механіці  є поняття  моменту  сили  відносно  осі,  який  характеризує  обертальну дію  сили навколо  даної осі.  Щоб  обчислити момент сили     відносно осі  (наприклад,  Z), необхідно:

•силу   спроектувати в площину перпендикулярну  до осі  (рис. 2.3);

•обчислити  момент сили   відносно точки   О  (перетину осі  з площиною): 

                              (2.4)

•поставити знак  плюс, якщо  при погляді  з додатного кінця осі Z бачимо, що  сила    намагається обертати тіло навколо  осі Z проти годинникової стрілки, і знак мінус, якщо  сила  намагається  повернути тіло  за годинниковою стрілкою.

Таким чином  момент сили відносно осі   (2.4)  є скалярною величиною,  яка дорівнює  моменту  проекції сили  на площину, перпендикулярну  до даної осі,  

відносно точки  перетину осі  з площиною, взятою  з відповідним  знаком.     

Момент сили відносно осі   (2.4), дорівнює нулю, якщо:

•лінія дії  сили паралельна осі  ( Fxy = 0);

•лінія дії  сили перетинає  вісь ( h = 0).

2.3.3. Якщо сила   не паралельна  жодній з  координатних осей, то для спрощення  обчислення  моментів цієї  сили  відносно координатних осей  (крім випадку  коли лінія  дії сили  перетинає вісь, відносно якої обчислюємо момент)  необхідно силу розкласти на складові, які паралельні осям, та скористатися теоремою  Вариньона:  момент рівнодійної  відносно будь – якої осі  дорівнює  алгебраїчній  сумі моментів  складових сил  відносно  тієї ж осі  (порівняй  з випадком на площині  - п.1.2.5).

Приклад 2.2. З умов рівноваги колінчастого вала визначити зусилля   та реакції опор,  якщо Р=10 кН,  , АD=DB=2 м, СD=1 м, АК=3 м. Вагою вала ВАК (рис. 2.4) знехтувати.

Розв'язання. Розглянемо рівновагу вала ВАК, враховуючи, що консоль CD жорстко прикріплена до нього. На вал діють дві активні сили  i  , які зрівноважуються 

реакціями циліндричного підшипника А та підп'ятника В.

 Звільняємось від в'язей та замінюємо їх дію реакціями в'язей. Обидві реакції невідомі ні за величиною, ні  за напрямком, тому зображуємо ці реакції їх складовими:   для циліндричного підшипника А, бо реакція підшипника перпендикулярна до осі обертання, та   для підшипника з упором (підп'ятника) В.

Вибір осей координат зображено на рис. 2.4. Для спрощення розв'язування розкладаємо силу   на складові (п.п.2.1.2, 2.2.3), які паралельні координтним осям (рис.2.4):

     

Де  

   

Система сил   яка діє на вал ВАК, є довільною просторовою