Статика на площині та в просторі

Таким чином незалежних рівнянь рівноваги три, будь-яке інше використовується для перевірки розв'язку задачі.

1.2.2. Моментом сили   відносно деякої точки О називають добуток модуля сили на її плече відносно цієї точки, взятий зі знаком “плюс” або “мінус”:

 .                                           (1.7)

Плечем сили відносно точки О називають довжину перпендикуляра, який опускають з точки О на лінію дії сили.  

Момент сили   вважається додатним, якщо сила   намагається повернути тіло відносно точки О в напрямку проти годинникової стрілки (рис.1.5,сила ), та від'ємним – за годиниковою стрілкою (рис.1.5, сила ).

Якщо лінія дії сили проходить через точку О, то h=0 і момент сили відносно цієї точки дорівнює нулю (рис.1.5, сила  ).

 

1.2.3. Дві рівні за модулем антипаралельні сили, що не лежать на одній прямій, утворюють пару сил (рис.1.6).

 

Моментом пари сил називають добуток однієї з сил пари на найкоротшу віддаль (плече) між силами,   що    утворюють   пару.

Якщо пара намагається повернути тіло проти годинникової       стрілки,        то 

момент пари вважається додатним, в протилежному  випадку –  від'ємним:

 .                                               (1.8)

Слід пам'ятати, що пара сил не може бути зрівноважена однією силою і що пару сил можна переносити в будь-яке положення в площині її дії; крім того у пари сил можна міняти модулі сил пари так, щоб алгебраїчний момент пари залишався незмінним. Зауважимо також, що алгебраїчна сума проекцій сил, що утворюють пару, на будь-яку вісь рівна нулю, і таким чином в рівняння проекцій сил момент пари сил не входить. 

1.2.4. При визначенні реакцій в'язей розподілене навантаження замінюють

 зосередженою силою; на  рис 1.7 наведені два основних випадки такої заміни:

 

1.2.5. Силу, яка діє на тіло під деяким кутом , бажано розкладати на складові, які паралельні координатним осям (рис.1.8) та потім застосовувати теорему Вариньйона: момент рівнодійної відносно деякої точки дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових сил відносно цієї ж точки. Такий підхід спрощує розрахунок, бо не треба шукати плече h, що добре видно для випадку на рис.1.8:  .

Приклад 1.2. На консольну балку АС (рис.1.9,а) діє сила  , пара сил з моментом М та рівномірно розподілене навантаження інтенсивністю  . Визначити реакції опор А та В, якщо відомо, що F=2кH, M=5кHм,  =3 кH/м, а=2м, b=3м, с=1м.

Розв'язання. Розглянемо рівновагу балки АС: в'язями для неї є шарнірно-рухома опора В, напрям реакції   якої відомий (перепенди-кулярно до поверхні, по якій рухається опора В) та шарнірна нерухома опора А, напрям реакції якої заздалегідь невідомий, тому представляємо її у вигляді двох складових  ,  . Відкидаємо в'язі і замінюємо їх дію на балку реакціями в'язей  ,  ,   (рис.1.9,б); прикладаємо до балки активні сили  ,   ( ) та пару сил з моментом М. На рис.1.9,б зображена розрахункова схема та вибрана нами система координат XAY. На балку діє плоска довільна система сил, незалежних рівнянь рівноваги три (п.1.2.1), невідомих також три ( ,  ,  ), задача статично означена.

Складаємо рівняння рівноваги:

 ;         ;

 ; ;

 ;  .

З  другого рівняння визначаємо   :

  (кH).

З першого рівняння   (кH), а з останнього маємо:

  (кH).

Перевіримо отримані результати:

  Реакції опор знайдено правильно. Знаки “плюс” свідчать про те, що реакції 

 ,  ,   напрямлено на рис.1.9, б правильно.

Відповідь:  кH;   кH;   кH.

 

Приклад 1.3. Рама АВС (рис.1.10,а) жорстко защемлена кінцем А. На неї діють сила  , розподілене навантаження за лінійним законом, інтенсивність якого змінюється від q до 2q, та пара сил з моментом М. До точки С прив'язано трос, який перекинуто через блок D: на кінці троса прив'язано тягар Р. Нехтуючи тертям у блоці, визначити складові реакції жорсткого защемлення А, якщо   кH,  кH,  кHм,   кH/м,  м,  м,  .

Розв'язання. Розглянемо рівновагу рами АВС, в'яззю для якої є жорстке защемлення А: звільняємось від в'язі, дію якої заміняємо трьома складовими 

 ,  ,  , бо напрям реакції опори А заздалегідь невідомий.

 

Сила натягу троса   за величиною дорівнює Р, бо тертям у блоці нехтуємо згідно з умовою задачі. Сила   напрямлена вздовж гнучкої в'язі (троса), яка завжди розтягнута. Розподілене навантаження розбиваємо (пунктир на рис 1.10,а) на рівномірно розподілене інтенсивності q та лінійно розподілене навантаження, які замінюємо силами  ,   відповідно (див. п.1.2.4). Сила   (  кH) прикладена посередині стояка АК, а сила   (  кH) на віддалі  від точки К. Для зручності обчислення моменту від сили   її розкладено на складові  і  , що дозволяє в подальшому застосовувати теорему Вариньйона (п.1.2.5).