Закони механіки і просторо-часова симетрія

Предмет:

Тип роботи:

Лабораторна робота

К-сть сторінок:

Мова:

Українська

Оцінка:

як вже згадувалося, вона лежить в основі законів природи, виражає те загальне, що властиве усім предметам і явищам. Якщо закони природи керують явищами, то принципи симетрії дають змогу передбачити закони природи, виражаючи спільне, що властиве різним явищам. Вони не просто діють навколо нас, а й лежать в основі всього. Таких обсягів прояву не фіксують механічні закони збереження. Широкоосяжний метод аналогій у науковому пізнанні макросвіту випливає з принципу симетрії. Відтак зрівнювання законів збереження механіки, про що йшлося вище, з властивостями простору-часу, необґрунтоване, хоча в макросвіті ця різниця проявляється не так різко, як у мікросвіті.

Зроблені висновки випливають із осяжніших теоретичних міркувань, чим є принцип найменшої дії Гамільтона.

Зв’язок однорідності простору та часу із законом збереження імпульсу на підставі принципу Гамільтона

Як зазначав Р.Фейнман, “між законами симетрії і законами збереження існує глибокий зв’язок, але цей зв’язок тримається на принципі мінімуму”. Під ним мають на увазі один із варіаційних принципів механіки – принцип найменшої дії. Він полягає у тому, що у стані рівноваги потенціальна енергія досягає мінімуму. Зв’язок між симетрією і законами збереження базується на варіаційних принципах механіки. Вони, зокрема принцип найменшої дії Гамільтона, виражають загальну тенденцію систем до статичної рівноваги, до упорядкованості, або симетрії.

Наступний розгляд у такій послідовності.

1. Загальні поняття і визначення. Фізична величина дія (S) має розмірність енергії, помноженої на час t. Згідно з Гамільтоном,

Вираз для S дається у формі Лагранжа: , де Т – кінетична енергія. З усіх можливих переміщень системи між точками А та В, що здійснюються з однаковою енергією, матиме місце те, для якого S буде найменшою. З цього принципу дістають диференціальне рівняння руху системи.

2. Для ізольованої системи матеріальних точок функції Лагранжа

Покажемо, що коли простір однорідний, то дія інваріантна відносно просторових перетворень. Відтак здійснимо зсув δx системи координат XYZ у напрямі осі Ох, знайдемо приріст дії δ і прирівняємо його до нуля. Матимемо:

Позаяк (з рівнянь Лагранжа), то

Тут інтервал інтегрування і величина перенесення (зсуву) цілком довільні, тому

З цієї рівності, врахувавши (ІІІ.10), остаточно отримуємо

Розглядаючи перенесення системи координат у напрямі осей Oх,Oу, дістанемо рівності

Останнім трьом рівностям можна придати векторну форму

Отож, однорідності простору відповідає закон збереження імпульсу.

Закони небесної механіки і принципи інваріантності

1.Секторна швидкість точки

Ця швидкість – характеристика руху точки в полі центральних сил, яка свідчить про темпи зростання площі S, яку описує радіус-вектор точки М, що рухається в площині хОу. Характеристикою швидкості зміни в часі площі S є похідна, яку називають секторною швидкістю. Вектору приписують напрям, перпендикулярний до площини орбіти і звернутий у той бік, звідки рух по орбіті видно проти годинникової стрілки, тобто, де – вектор моменту кількості руху. Обчислимо .

Елементарний приріст площі пл.ОММ´=пл.ОМN+пл.МNМ´, де МN – дуга кола радіуса ОN з центром у точці О (рис.101).З точністю до малих другого порядку dS=пл.ОММ´=пл.ОМN=, бо MN=rdφ. Відтак секторна швидкість

(ІІІ.11)

Подамо її в декартових координатах. Позаяк

x=rcosφ, y=rsinφ,

то

dx=drcosφ-rdφsinφ, dy=dsinφ+rdφcosφ.

Легко бачити, що

xdy-ydx=r2dφ.

Згідно з (ІІІ.10),

або остаточно

Векторне значення секторної швидкості

де – орбітальна (лінійна) швидкість точки.

2.Рух у центральному силовому полі

Силове поле – це частина простору, в кожній точці якого на тіло діє сила, що залежить від координат розглядуваної точки і часу. Силове поле називається центральним, якщо лінія дії сили, що діє на точку, незмінно проходить через одну й ту саму нерухому точку простору (центр сил).

Рух планети навколо Сонця, рух супутника навколо Землі та ін. – приклади руху матеріальної точки в центральному силовому полі.

Згідно з теоремою про зміну момента імпульсу, маємо:

Права частина цієї рівності дорівнює нулю, бо вектор центральної сили весь час проходить через точку О (центр силового поля), яку можна розглядати як початок координат. Тому

Помножимо ліву й праву частини цієї рівності скалярно на , дістанемо в лівій частині нуль (згідно з означенням скалярного добутку векторів).

що рівносильне такій рівності:

Axx+Ayy+Azz=0,

де Ax,AyAz – сталі проекції вектора.

Тож координати x,y,z рухомої точки (планети) задовольняють рівняння площини, що проходить через центр сил (початок координат). Це тому, що в центральному силовому полі відсутні сили, які спричиняють відхилення рухомої точки від площини, що проходить через вектор початкової швидкості і нерухомий центр поля (центральна сила лежить у цій площині). Це твердження тісно пов’язане з однорідністю простору-часу та ізотропністю простору. Остання має безпосереднє відношення до закону збереження моменту імпульсу.

3.Другий закон Кеплера. Нехай прямокутна система координат має початок притягання (силового поля), що збігається з центром притягання, а площина хМу співпадає з площиною орбіти тіла (рис.102). Тоді основне рівняння динаміки можна записати у вигляді

Перемноживши ці два рівняння відповідно на у і х і віднявши перше із другого,