Закони механіки і просторо-часова симетрія

 

або

 

Із рис. 59 отримуємо співвідношення, маємо.

Тому

 

що рівносильне

 

На підставі (ІІІ.11) і (ІІІ.12) отримуємо остаточно

 

Отже, площа, описана радіусом-вектором за одиницю часу, є величина стала, що є математичним виразом другого закону Кеплера.

Інварінтність закону всесвітнього тяжіння

Вона проявляється відносно просторових зсувів, про що коротко йшлося в розділі, поворотів у просторі і в симетрії відносно переносів у часі.

Якби закон всесвітнього тяжіння не був інваріантний відносно переміщень і поворотів у просторі, то він строго не виконувався б у різні дні року, чого не спостерігається.

Задача. Довести, що просторове перенесення залишає інваріантним закон всесвітнього тяжіння.

Розв'язання. Нехай  і  - положення у полі тяжіння тіл відносно якоїсь точки Галактики – початку системи координат у якийсь момент. У цій системі. Виконавши просторове перенесення, добавимо до векторів  і  вектор. Матимемо. Бачимо: величина R у формулі закону всесвітнього тяжіння не змінюється. Цей закон інваріантний стосовно просторових переносів. Ця симетрія відносно переносу в просторі свідчить про однорідність простору. 

Той факт, що цей закон сталий у часі, свідчить також про інваріантність його стосовно до переносів у часі. Так, учні в школі не задають питання, чи закон Архімеда зараз такий самий, яким він був у ІІІст. до н.е., коли його відкрив Архімед. Обчислення, проведені на підставі закону всесвітнього тяжіння, дають однакові кінцеві підсумки незалежно від того, у який календарний час вони були здійснені: вчора, сьогодні, через рік …

З допомогою закону всесвітнього тяжіння можна отримати всі три закони Кеплера, в чому його універсальність. Ця задача математично досить громіздка, тому ми отримаємо лише третій закон, що не являє порівняно велику складність.

Якщо планета рухається по коловій орбіті, то її доцентрове прискорення

 

де r – радіус орбіти, а Т – період обертання по колу. Якщо тіло масою m рухається по колу навколо центрального тіла, маса якого М, то відносне прискорення

 

Тут G – гравітаційна сила.

Позаяк ці прискорення рівні, що зрівнявши їх праві частини, матимемо

 

Якщо планета рухається по еліпсу, то r=a, де a – велика піввісь орбіти планети, а Т дорівнюватиме періоду обертання тіла по еліпсу. Тому 

 

Для двох тіл масою m i m2, великі півосі яких  , а періоди обертання навколо центральних тіл з масами М1 і М2 дорівнюють Т1 і Т2, виконуватиметься рівність

 

Якщо розглядати рух відносно Сонця двох планет (М1=М2=М) і врахувати, що m1<<M1, m2<<M2, то

 

яку отримав Кеплер із спостережень.

Відмітимо також, що закон всесвітнього тяжіння Ньютона можна вивести із трьох законів Кеплера. Але ця задача ускладнена досить громіздким математичним аналізом і ми її не розглядатимемо.

Закони Кеплера взаємопов’язані з законом всесвітнього тяжіння і математично випливають одні з одних. Щось подібне ми вже спостерігали, аналізуючи співвідношення законів збереження механіки із законами динаміки. Спільним у них є те, що всі вони органічно нерозривно пов’язані із симетрією простору-часу, тобто з однорідністю простору-часу та ізотропічністю простору.

Вже той факт, що у законі всесвітнього тяжіння використовується відстань між будь-якими двома тілами, а не якась цілком конкретна відстань, скажімо, до центру Всесвіту, переконує, що цей закон допускає переноси у просторі. Це саме можна сказати і про електростатичні взаємодії (закон Кулона). Будь-який напрям рівнозначний.

Закон всесвітнього тяжіння – універсальний закон природи, що засвідчує єдність просторово-часової симетрії. Він має аксіоматичний характер, узагальнюючи результати багатьох макродослідів, не зводиться до простіших співвідношень і законів.

Короткі підсумки

Інваріантні властивості простору-часу в макросвіті нероздільні між собою, накладаються одна на одну, взаємопроникають і навіть випливають одна з другої, про що вже мовилося. Закони збереження відбивають повну інваріантність. У макросвіті вони пов’язані з однорідністю та ізотропністю простору, однорідністю часу, але не дублюють їх, не ототожнюються з ними. На рівні механічної форми руху матерії, як частковий випадок, закони збереження однаково добре описують фізичні явища й процеси, за певних умов випливають один з одного однозначно.

За різних умов основну роль відіграють якісь конкретні величини. Вони такі ж фундаментальні, як і закони збереження, які в заданій ситуації проявляються найвиразніше, повніше. Показовим є ось такий приклад. Якщо тіла (скажімо, планета Плутон) далекі від центрів мас, навколо яких вони обертаються (від Сонця), то моменти їх імпульсу, де  – відповідно маса, швидкість і відстань до центрів обертання, а  – імпульс, залежать лише від їхніх мас і швидкостей, бо r ≈ const. Тоді із закону збереження моменту імпульсу  випливає факт збереження імпульсу:.

З іншого боку, закон збереження імпульсу передбачає незмінність положення центра мас тіл, які взаємодіють. Коли, наприклад, ракета викидає гази назад, вона змушена піднятися вперед так, щоб положення її центра мас не змінилося. Так само переміщення людини в одному напрямі викликає відповідне переміщення човна у протилежному напрямі, причому так, що центр мас цієї системи зберігає стале положення. Складається неймовірно дивна ситуація-збереження положення центра мас тіла (нібито випадкова і малосуттєва обставина) обумовлює