Аналітичні моделі поверхонь на основі перетворень і тангенціальних рівнянь

Перехід від параметричних рівнянь поверхні (18) до її тангенціального рівняння (20) ототожнимо з відшуком площин, що проходять через точки поверхні і дотикаються цієї поверхні. Перехід від тангенціального рівняння (20) до параметричних рівнянь поверхні (18) ототожнимо з відшуком характеристичних точок в огинанні поверхні конгруенцією площин. Маємо відповідність площин точкам у першому випадку і відповідність точок площинам у другому. У обох випадках зберігається інцидентність відповідних точок та площин. Зазначені переходи відіграють роль перетворень, які в роботі названо корелятивно-інцидентними. З одного боку вони є частинним випадком корелятивних перетворень, з іншого – перетворень дотику. Лише парне застосування корелятивно-інцидентних перетворень приводить до гомографії. Останнє положення продемонстровано на прикладі подерних перетворень.

Нехай поверхню-прообраз подано рівняннями (18). Корелятивно-інцидентним перетворенням точок цієї поверхні отримаємо тангенціальне рівняння (20). Нехай P (xP, yP, zP) – полюс подерного перетворення. Рівняння в'язки перпендикулярів з центром Р до конгруенції площин (20)

 ,  ,  . (23)

Розв'язком системи (20), (23), що виражає корелятивно-інцидентне перетворення конгруенції площин (20) у точки поверхні-образу, буде

 ,

 , (24)

 .

Як бачимо, два послідовних корелятивно-інцидентних перетворення приводять до точкової відповідності поверхонь (18) та (24) у подерному перетворенні, тобто до гомографії.

Іншим застосуванням корелятивно-інцидентних перетворень є дослідження формоутворення поверхонь з двома плоскими лініями кривини за схемою Дарбу. Якщо на двох фокальних коніках розташувати центри двох сімей сфер та визначити конгруенцію площин, радикальних відносно всіляких пар сфер, то, згідно з Дарбу, поверхня з двома сім'ями плоских ліній кривини огинає названу конгруенцію площин.

Показано, що відстань радикальної площини двох сфер з центрами O1, O2 та радіусами r1 і r2 (r1>r2) від центра O1   і від центра O2  , де d – міжцентрова відстань. Диференціюємо першу з цих рівностей по d, вважаючи r1 та r2 сталими. Отримаємо d=d1. Це означає, що при зміні d і сталих r1 та r2 радикальна площина зміщується у бік O1, поки   та у бік O2, поки  . Тобто при   вона змінює напрям переміщення. Цей феномен лежить в основі з'явлення ребер звороту на поверхнях з двома сім'ями плоских ліній кривини.

Нехай   (i=1, 2, 3) та   (i=1, 2, 3) – параметричні рівняння фокальних конік, а  ,   – функції, що задають сім'ї сфер з центрами на фокальних коніках. Рівняння конгруенції радикальних площин всіляких пар сфер r1 та r2 отримано у вигляді

  (25)

Складено узгоджені параметричні рівняння фокальних конік для випадків а) фокального еліпса та гіперболи, б) фокальних парабол, в) кола та прямої, що проходить через його центр і перпендикулярна його площині. Підстановка правих частин цих рівнянь до рівняння (25) приводить до тангенціальних рівнянь шуканих класів поверхонь з двома сім'ями плоских ліній кривини.

Корелятивно-інцидентне перетворення здійснюється шляхом приєднання до тангенціального рівняння (25) рівнянь вигляду (21) та (22) і розв'язку системи трьох лінійних неоднорідних рівнянь. Кінцеві параметричні рівняння наведено в роботі тільки для випадку в). Для випадків а) та б) вони настільки громіздкі, що не вміщуються на одній сторінці.

Усе ж було помічено, що коефіцієнти рівнянь вигляду (20), (21), (22) у всіх випадках залежать від трьох функцій однієї змінної, що дозволяє застосувати пакет MAPLE для візуалізації поверхонь з довільністю подання функцій   та  .

На рис. 1, 2 показано поверхні, для яких фокальними коніками є еліпс і гіпербола. Перша з них визначається функціями ru=cos u, rv=cos v. Друга – функціями ru=cos u, rv= v. На другій поверхні бачимо два ребра звороту та лінію самоперетину.

На рис. 3, 4 показано поверхні, сформовані використанням двох фокальних парабол. Перша з них є єдиною алгебраїчною мінімальною поверхнею дев'ятого порядку, що носить ім'я Енепера. Для неї ru= 0, rv= 0. Друга сформована за функціями ru= 1, rv= 1.

На рис. 5, 6 показано поверхні, сформовані використанням кола і прямої як лінії центрів двох сімей сфер. Перша з них є різьбленою поверхнею Монжа, для якої r= 10, ru= 3u, rv= 3v. Друга побудована при r=5 за функціями ru=ch u, rv=0.

В четвертому розділі наведено рекомендації до впровадження результатів досліджень. Зосереджено увагу на внутрішню параметризацію поверхонь-прообразів при виконанні проективних перетворень та інверсії. В першому випадку, коли прообраз невласної площини перетинає прообраз поверхні, бажано, щоб межі зміни внутрішніх параметрів розміщались у площинах, паралельних прообразу невласної площини. У другому випадку, коли прямолінійні твірні прообразу треба замкнути у кола на образі, лонгальний параметр прообразу рекомендовано брати в непарній степені.

Показано застосування тангенціальних рівнянь для побудови власних тіней і тіней, що падають на площину, від кривої поверхні при штучному та природному освітленні.

На рис. 7 показано власну тінь і тінь, що падає на площину, від зрізаного тривісного еліпсоїда, при штучному освітленні.

На рис. 8 показано власну тінь і тінь, що падає на площину від тора при природному освітленні.

Показано, що тангенціальні рівняння поверхонь застосовні для складання програми обробки виробів складної форми на верстатах з ЧПК. Коефіцієнти при змінних x,