Дискретна апроксимація за критерієм найменшого граничного відхилення

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

 

МАРЧЕНКО ІРИНА ФЕДОРІВНА

 

УДК 514. 18

 

 

Спеціальність 05. 01. 01. - Прикладна геометрія, інженерна графіка

 

 

Київ – 1999

 

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійській державній агротехнічній академії Міністерства агропромислового комплексу України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, доцент Найдиш Андрій Володимирович, ТДАТА, зав. каф. Прикладної математики та обчислювальної техніки.

Офіційні опоненти: – доктор технічних наук, професор Грибов Сергій Миколайович, НТУУ “КПІ”, професор кафедри нарисної геометрії, інженерної і комп’ютерної графіки; - кандидат технічних наук, доцент Іванова Лариса Сергіївна, КНУБА, доцент кафедри нарисної геометрії, інженерної і комп’ютерної графіки.

Провідна установа: Одеський державний політехнічний університет.

Захист відбудеться “21” жовтня 1999р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26. 056. 06 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою: 252037 Київ-37, Повітрофлотський просп., 31.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою:

252037 Київ-37, Повітрофлотський просп., 31.

 

 

Актуальність теми. Геометричне моделювання дискретно поданих кривих (ДПК) є одним із самих розвинутих і перспективних його напрямків. При цьому головною задачею є одержання моделі, адекватної досліджуваному явищу або процесу, складність якого спричиняє за собою й ускладнення моделі, для формування якої необхідні нові, більш складні методи.

Особливістю більшості практичних задач геометричного моделювання плоских ДПК є те, що координати точок ДПК обтяжені похибками. У цих умовах методи інтерполяції непридатні і для одержання геометричних моделей ДПК застосовуються статистичні методи. Серед них найважливішими є метод найменших квадратів (МНК), метод найменших сумарних відхилень (НСВ), метод найменшого граничного відхилення (НГВ). Недоліком згаданих методів є великий обсяг обчислень при збільшенні числа параметрів і падіння їхньої точності, особливо при наближенні алгебраїчними поліномами через наявність високих ступенів при великих значеннях координат точок вихідної ДПК. Крім того, відомі розробки згаданих методів не орієнтовані на запобігання осцилляції моделюючої кривої, а рішення конкретної задачі завжди пов'язано з певною функцією, наявність якої накладає певні зв'язки на співвідношення відхилень (похибок) і не дозволяє досягти граничного мінімального відхилення.

Особливість дискретного моделювання ДПК полягає в тому, що воно дозволяє побудувати моделюючу ДПК на тій же сітці так, що значення критеріїв наближення будуть мінімально можливими і практично недосяжними ні для якої іншої функції наближення.

Відомі способи континуальної апроксимації, запропоновані або розвинуті в прикладному плані вченими в галузі прикладної геометрії також не мають ефективних алгоритмів запобігання осциляції і не дають можливості побудувати наближення, найкращі в середньому.

Таким чином, назріла теоретична і практична необхідність розробки і дослідження наближень ДПК, близьких за своїми властивостями до рівномірних наближень неперервних кривих і функцій, яким притаманні екстремальні властивості, що визначають співвідношення між відхиленнями.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження в роботі проведені в рамках комплексної науково-дослідної програми Таврійської державної агротехнічної академії по геометричному моделюванню явищ і процесів у сільськогосподарському виробництві. У процесі впровадження результатів дослідження вирішувалися задачі в межах програм виробничих об’єднань “Азовсталь” та “АвтоЗАЗ-ДЕУ”.

Мета і задачі дослідження. Мета роботи – запропонувати і дослідити способи дискретної апроксимації ДПК, що запобігають осциляції і здійснюють наближення за критерієм найменшого граничного відхилення.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі задачі:

виконати аналіз існуючих методів апроксимації заданої ДПК;

розробити спосіб корекції кінцево-різницевих характеристик точкового ряду заданої на рівномірній сітці ДПК з урахуванням її перших і других різниць;

розробити спосіб опорних ДПК для апроксимації за критерієм НГВ;

дослідити ітераційний спосіб побудови НГВ-ДПК за заданими умовами;

запропонувати спосіб дискретної НГВ-апроксимації алгебраїчними поліномами;

виконати обчислювальну і програмну реалізацію запропонованих способів;

здійснити впровадження в практику.

Методика досліджень. У процесі досліджень поставлених у роботі задач використовувалися методи нарисної й аналітичної геометрії, теорії кінцевих різниць і різницевих схем, теорії апроксимації і наближення функцій, обчислювальні методи.

Теоретичною базою для даних досліджень послужили роботи провідних учених:

в галузі статистичних методів: Н.І. Ідельсона, Л.В. Канторовича, А.Н. Колмогорова, Ю.В. Лінника, Р. Литтла, Е.М. Львовського, А.А. Маркова, Р. Міллса, Ф. Мостеллера, В.І. Мудрова, Д.У. Снедекора, Дж. Тьюки й ін.

в галузі геометричного моделювання: Ю.І. Бадаєва, І.Г. Балюби, В.В. Ваніна, С.Н. Грибова, Г.С. Іванова, С.М. Ковальова, Л.М. Куценка, В.Є. Михайленка, В.М. Найдиша, В.О. Надолинного, В.С. Обухової, А.В. Павлова, А.Л. Підгорного, А.М. Підкоритова, І.А. Скидана й ін.

в галузі дискретного геометричного моделювання: В. М. Верещаги, С. М. Грибова, С. М. Ковальова, В. М. Найдиша й ін.

Наукову новизну отриманих результатів складають:

уперше запропонований спосіб корекції кінцево-різницевих характеристик точкового ряду, що грунтується на сформованому в роботі «правилі знаків»;

спосіб опорних ДПК, що має екстремальні властивості і дозволяє аппроксимувати вхідну ДПК за критерієм НГВ;

ітераційний спосіб опуклої НГВ-апроксимації, що здійснює наближення за наперед заданими диференційно-геометричними умовами;

спосіб алгебраїчної НГВ-апроксимації