Дискретна апроксимація за критерієм найменшого граничного відхилення

Ординати   точок НГВ-ДПК розраховуються за рівнянням

 

  , (11)

 

де  - задані заздалегідь або згладжені другі РР вихідної ДПК.

Результати досліджень по урахуванню перших і других РР, а також перших похідних, подані раніше, розвиваються далі в напрямку урахування других похідних. Аналогічно згаданим раніше алгоритмам спочатку провадиться формування відсутніх значень других похідних у смузі, побудованій на основі перших похідних, що визначаються із множини припустимих значень на основі згладжених значень  . Потім включається основний алгоритм розрахунку ординат   точок апроксимуючої ДПК, що залежить від двох параметрів   і  :

 

 , (12)

 

Розділ 3 роботи присвячений наближенню на основі дискретних уявлень апроксимуючих функцій, основними серед яких є алгебраїчні поліноми. У дискретних уявленнях функцій розрізняють рекурентні і глобальні співвідношення. Рекурентні співвідношення виражають ординату i-ї точки через ординати і різниці попередніх точок, а глобальні – через ординати і різниці, віднесені до фіксованих точок, що виступають у якості параметрів, що визначають криву. І ті, і інші співвідношення широко використовуються в роботі для одержання рішення.

Розглядається НГВ-апроксимація прямою лінією, суть якої складається в пошуці такої ланки верхньої або нижньої опорної ДПК, відносно якої (якщо продовжити ланку на всю область визначення заданої ДПК) максимальне (за модулем) із відхилень точок є мінімальним на множині ланок. Шукана НГВ-ДПК паралельна знайденій ланці AB (рис. 3).

Зауважимо, що для трійки точок на рис. 3, що визначають НГВ-пряму, як середню лінію трикутника, характерно те, що відношення першої розділеної різниці

до суми модулів коефіцієнтів, що її визначають, є мінімальним на множині всіляких трійок точок.

Подальше узагальнення цього факту для різниць більш високого порядку грунтується на відповідних твердженнях.

Твердження 4. З k величин  ,  , …,  , пов'язаних співвідношенням

 

  (13)

 

мінімально можливе за модулем значення   будь-якого з них, при якому інші  не перевищують   за модулем, досягається за умови

 

 . (14)

 

Звідси витікає

Твердження 5. Для алгебраїчного полінома k-го порядку, що апроксимує (k+2) точки за критерієм НГВ, (k+2) значення відхилень за модулем дорівнюють  , де

 

 , (15)

 

де   – сума модулів коефіцієнтів при   в РР  .

Твердження 6. Якщо  , то величина   має знак, протилежний знаку коефіцієнта  ; якщо  , то знак   збігається зі знаком  .

Твердження 5 і 6 дозволяють установити множину точок, що визначають шукану НГВ-криву, а також знаки відхилень, що дорівнюють за модулем значенню НГВ. Звідси витікає алгоритм алгебраїчної НГВ-апроксимації, що полягає в пошуці для К-полінома таких (k+2) точок із множини заданих, що значення   з (15) є мінімальним за модулем на множині всіляких сполучень по (k+2) точки із n заданих. Кількість таких сполучень, що включаються в розрахунок, істотно зменшується, якщо врахувати, що в переборі точок беруть участь тільки точки опорних ДПК, причому половина точок належить одній опорній ДПК, а друга половина – другій.

Особливості дискретного геометричного моделювання і характер представлення вихідної геометричної інформації є факторами, що визначають обчислювальні особливості і програмну реалізацію запропонованих в роботі способів.

Програмне рішення задачі способом опорних ДПК реалізовано у вигляді розрахункової оболонки, побудованої за модульним принципом і містить процедури аналізу вихідних даних, побудови основної опорної ДПК, побудови допоміжної опорної ДПК, виведення результатної інформації.

Побудова оболонки за модульним принципом дозволило шляхом доробки відповідних процедур одержати програмні рішення для моделювання ДПК з урахуванням розділених різниць і заданих похідних, накладати додаткові обмеження і враховувати особливості моделювання уведенням вагових коефіцієнтів.

Для тестових прикладів і програмної реалізації використовувалося програмне забезпечення пакетів Visual Basic, Excel, Maple.

Запропоновані в роботі способи і їхнє програмне забезпечення пропонується використовувати при обробці експериментальних даних, де відшукується кореляційна залежність, як функціональна залежність між значеннями однієї з змінних і математичним очікуванням іншої.

Відомі методи припускають побудову лінії регресії за умови, що закон розподілу двовимірної випадкової величини   є нормальним.

Спроби побудувати лінії регресії на основі критерію НСВ починалися Єпішиним Ю. Г. ; Загайтовим І. Б. і ін. Найбільш повно ці питання вирішені в роботах Найдиша А. В., де досліджувалися основні питання регресійного аналізу на основі методів НСВ і НГВ.

У даній роботі запропоновані дослідження ДПК регресії стосовно до критерію НГВ. При цьому розглянуті дві можливості:

-побудова лінії регресії на основі алгебраїчних поліномів;

-побудова ДПК регресії без урахування конкретної апроксимуючої функції з метою одержання екстремальних оцінок.

Особливість економіко-математичних досліджень і виникаючих при цьому задач складається в тому, що переважна більшість із них пов'язана в тому або іншому вигляді з досягненням деякого оптимального результату. При цьому частіше усього критеріями оптимізації виступають критерії МНК, НСВ, НГВ. Відносно невелике поширення задач із критерієм НГВ пояснюється не тим, що ці задачі в порівнянні з іншими менш актуальні, а тим, що їх обчислювальна і програмна реалізації в найменшій мері розроблені.

Велику роль в економіко-математичних дослідженнях і рішенні задач