Дискретна апроксимація за критерієм найменшого граничного відхилення

Опорна ДПК для заданої осцилюючої ДПК є неосцилюючою і обмежує точковий ряд заданої ДПК знизу або поверх (рис. 1).

Основні властивості опорних ДПК:

початкова і кінцева точки ряду є точками опорної ДПК;

опорна ДПК включає в якості вузлів тільки точки заданої ДПК;

початкова або кінцева ланка супровідної ламаної лінії (СЛЛ) вихідної ДПК можуть входити до складу СЛЛ опорної ДПК;

кожна ДПК може мати як верхню, так і нижню опорну ДПК.

Будемо розрізняти основну і допоміжну опорні ДПК. У основної опорної ДПК точки заданої множини розташовані з боку її увігнутості (нижня ДПК, рис. 1), у допоміжної – навпаки (верхня ДПК, рис. 1). Очевидно, що шукане НГВ-рішення розташовується в смузі між верхньою і нижньою опорними ДПК. Значення критерію НГВ визначає точка множини, найбільш віддалена від відповідної ланки основної опорної ДПК (на рис. 1 – це т. 9). Спосіб побудови НГВ-ДПК полягає у визначенні цієї точки максимального відхилення й у паралельному переносі основної опорної ДПК на половину цього відхилення усередину точкового масиву.

При необхідності можна поліпшити рішення з урахуванням додаткових вимог. Зокрема, на краях НГВ-ДПК рішення є неоднозначним і, якщо це не суперечить опуклості, можна зажадати інцидентності НГВ-ДПК початковій і кінцевій точкам. Таке рішення будемо називати НГВ-апроксимацією за способом опорних ДПК із корекцією країв.

Розглядаються різноманітні варіанти розташування опорних ДПК. Якщо для заданої ДПК і верхня і нижня опорні ДПК є основними (рис. 2), то для кожної з них визначається значення НГВ і рішення одержується паралельним переносом із корекцією країв тієї опорної ДПК, для котрої це значення виявляється меншим.

Головним достоїнством способу опорних ДПК є його простота і можливість одержання мінімально можливих значень критерію наближення, оскільки рішення в цьому смислі покращити неможливо. Крім того, опорні ДПК відіграють визначальну роль у всіх інших способах дискретної неосцилюючої апроксимації, розроблених у дисертації.

Недоліком способу опорних ДПК є наявність прямолінійних ланок, що не завжди допускається умовою задачі. Пропонується корекція прямолінійних ділянок, що здійснюється на основі рішення системи рівнянь, що відбивають рівномірність зміни значень кутових коефіцієнтів ланок НГВ-ДПК.

Подальшим кроком у розвитку способу опорних ДПК є апроксимація з урахуванням перших розділених різниць (РР) вихідної ДПК, множину значень яких можна сформувати подвійно:

сгладжуванням перших РР вихідної ДПК за способом опорних ДПК;

за допомогою кутових коефіцієнтів ланок опорних ДПК вихідного ряду відповідно до доведеного в роботі співвідношення:

 

 , (8)

 

де   – кутовий коефіцієнт ланки рішення,   і   – відповідно ланок верхньої і нижньої опорних ДПК.

Після того, як сформована множина  перших РР, розраховується модельна ДПК відповідно до рівняння

 

   ,  ; (9)

 

у залежності від параметра паралельного переносу  , що визначається за спеціальним алгоритмом. З (9) при  ,  , визначається множина значень   і з них мінімальне   і максимальне  . Шукане   розраховується, як їх півсума.

Для урахування заздалегідь заданих значень ординат або похідних у деяких точках НГВ-ДПК у дисертації розроблений ітераційний спосіб побудови НГВ-ДПК. Він полягає в послідовному звуженні смуги між верхньою і нижньою опорними ДПК. На кожному кроці ітерації точки верхньої межі переміщуються униз на величину НГВ, значення якого розраховується за допомогою опорних ДПК, а точки нижньої межі – нагору на розмір НГВ. Наперед задані точки, яким повинна бути інцидентна апроксимуюча ДПК, а також точки, що не належать межам, залишаються нерухомими. З отриманих точок формується новий масив і розрахунок продовжується доти, поки значення НГВ не стане менше деякого наперед заданого  .

Ітераційний спосіб дозволяє побудувати опуклу НГВ-ДПК з мінімальною кількістю прямолінійних ланок і, саме головне, дотримати наперед задані диференційно-геометричні умови або здійснити їхню корекцію.

Одним із таких умов є урахування перших похідних, заданих у деяких (може бути й усіх) точках апроксимуючої ДПК.

Основними етапами алгоритму є:

1.Формування відсутніх значень   за допомогою згладжених значень перших РР вихідної ДПК.

2.Розрахунок модельної ДПК відповідно до рівняння

 

  (10)

 

шляхом дискретного інтегрування дискретно поданого в п. 1 диференціального рівняння відповідно до алгоритмів, розроблених у докторській дисертації Верещаги В. М. Тут   – коефіцієнт вибору положення наступного   вузла ламаної лінії первісної, якщо задані   і значення похідних   і  . Він призначений для корекції рішення з метою задоволення заданим умовам.

3.Визначення положення сформованої в п. 2 модельної ДПК за допомогою параметра паралельного переносу  .

4.Корекція отриманого рішення за допомогою коефіцієнтів  .

На основі ітераційного способу здійснюється дискретна апроксимація з урахуванням других РР. Етапи алгоритму співзвучні з поданими вище. При цьому моделювання може здійснюватися як з урахуванням 1-х РР, так і без них. Відмінність запропонованого алгоритму складається в тому, що тут рішення залежить від двох параметрів. У дисертації розроблений спосіб узгодженого визначення оптимальних значень