Предикатні моделі логічних просторів в системах подання знань

У заключній частині розділу сформульована мета і проблема досліджень, а також виконана постановка задач дослідження.

Другий розділ присвячений дослідженню математичного апарату логічних матриць, що розроблений на основі алгебри скінченних предикатів подібно до апарату матриць у лінійній алгебрі. У роботі розглянуто булево логічне поле, що містить лише два елементи G={0, 1}, та предикатне логічне поле, елементами якого є всі п-місні скінченні предикати, задані на декартовому добутку К=К1... Kn, Ki=kі. Кожний елемент такого поля можна подати у вигляді однорівневого перемикального ланцюгу з п входами та одним виходом, що реалізує відповідний логічному скаляру предикат. Операціям диз'юнкції, кон'юнкції та заперечення логічних скалярів у цьому випадку відповідають дворівневі перемикальні ланцюги, в яких другий рівень реалізує елемент роз'єднання, збіжності та інвертор відповідно.

З іншого боку, кожний елемент предикатного скалярного поля можна подати як гіперкуб розмірності п. Таке подання для трьохмісного предикату R (x, y, z) над декартовим добутком К={0, 1}3 подано на рис. 1, де кожній вершині відповідає значення предиката за певним набором значень аргументів x, y, z, що створюють цю вершину. Одиничному елементу відповідає гіперкуб, усі вершини якого мають значення одиниці, а нульовому елементу – гіперкуб, усі вершини якого дорівнюють нулю. При проведенні операцій диз'юнкції, кон'юнкції та заперечення скалярів ці операції проводяться над відповідними вершинами гіперкубів, якими подані предикати, що беруть участь в операціях.

Таку інтерпретацію елементів предикатного скалярного логічного поля можна розуміти як геометричну інтерпретацію коректуючих кодів. При цьому кожному п-мірному простору Хеммінга відповідає елемент скалярного логічного поля скінченних предикатів арності п, що поданий гіперкубом, у якого лише єдиній вершині відповідає одиниця, а решті вершин – нулі.

Поняття логічної матриці, а також пов'язані з ним поняття квадратної, порядку квадратної, одиничної, нульової, блочної логічних матриць, логічного рядку, довжини рядку, логічного стовпця, висоти стовпця вводяться відповідно до подібних понять у лінійній алгебрі. Основними операціями над логічними матрицями є логічний добуток матриці на скаляр або скаляра на матрицю, диз'юнкція, кон'юнкція, заперечення та добуток логічних матриць. Поняття логічного добутку скаляра на матрицю або матриці на скаляр та добутку логічних матриць подібно відповідним поняттям лінійної алгебри. Диз'юнкцією (кон'юнкцією) двох логічних матриць А і В над деяким скалярним полем, що мають однакову кількість рядків та стовпців, є матриця, що має таку ж кількість рядків та стовпців та елементи якої дорівнюють диз'юнкціям (кон'юнкціям) відповідних елементів матриць А і В. Запереченням логічної матриці А є матриця тієї ж розмірності, елементи якої дорівнюють запереченням відповідних елементів матриці А. Для логічних матриць мають місце такі властивості.

Операції транспонування та обернення логічних матриць, а також пов'язані з ними поняття симетричної, перестановочної та зворотної логічних матриць визначаються подібно до відповідних понять у лінійній алгебрі. У логічній алгебрі мають місце такі правила транспонування: (AB) T=ATBT;  ; (AB) T=BTAT; (AB) T=BTAT. Квадратна логічна матриця називається ортогональною, якщо диз'юнкція усіх елементів кожного її рядка та диз'юнкція усіх елементів кожного її стовпця дорівнюють тотожній одиниці, а кон'юнкція будь-яких двох елементів у кожному її рядку і кон'юнкція будь-яких двох елементів у кожному її стовпці дорівнюють тотожному нулю.

Доведено, що для того, щоб для квадратних логічних матриць А і В над полем логічних скалярів G={0, 1} або полем скінченних предикатів будь-якої арності виконувалось рівняння АВ=Е необхідно та достатньо, щоб А і В були ортогональними та підкорялись умові В=АТ.

Третій розділ присвячено дослідженню предикатної та булевої моделей векторних логічних просторів, що розроблені на базі алгебри скінченних предикатів подібно до лінійних просторів у числовій математиці. У роботі розглядаються дві моделі векторних логічних просторів. Булева модель: як логічні вектори розглядається множина конституент одиниці по т змінним. У ролі скалярного поля виступає двохелементна множина G={0, 1}. Предикатна модель: за множину логічних векторів розглядається система скінченних предикатів арності т на декартовому добутку К=К1... Кт, Кi=ki, за поле логічних скалярів виступає будь-яка система усіх скінченних предикатів арності n<m.

Розглянемо поле логічних скалярів, що є множиною п-містних предикатів P ( ,...,  ), itis, t, s=1,..., n, де множина індексів {i1,..., in} є підмножиною індексів {1,..., m}. У зв'язку з тим, що усі простори т-містних предикатів, аргументами предикатів для скалярного поля яких виступають всілякі підмножини { ,...,  } множини {x1,..., xm}, улаштовані однаково з точки зору операції добутку вектора на скаляр, будемо вважати, що предикати-скаляри задані на множині перших п елементів множини {x1,..., xm}, тобто являють собою п-містні предикати Р (x1,..., xп). Операція добутку вектора на скаляр у предикатних просторах здійснюватиметься за таким правилом: (PQ) (x1,..., xn, xn+1,..., xm) =Р (x1,..., xп) Q (x1,..., xn, xn+1,..., xm).

Логічні вектори предикатного простору також можна подавати у вигляді однорівневих перемикальних ланцюгів з т входами та одним виходом, що реалізують відповидні до цих векторів скінченні предикати. У цьому випадку операції добутку вектора на скаляр відповідає дворівневий перемикальний ланцюг, в якому другий рівень реалізує елемент збіжності. Випадок добутку скаляра у вигляді двомісного предиката Q (x, у) на декартовому добутку К2={0, 1}2 на вектор у вигляді трьохмісного предиката R (x, у, z)