Предикатні моделі логічних просторів в системах подання знань

Поняття лінійної комбінації логічних векторів подібно до цього поняття у лінійній алгебрі. Якщо логічний вектор l можна подати у вигляді лінійної комбінації декількох інших векторів, то l залежить від цих векторів. У протилежному випадку він від них не залежить. Система логічних векторів є незалежною, якщо кожний з її векторів не залежить від решти векторів цієї системи. Поняття базису, розкладу векторів за базисом та розмірності логічного простору подібні до відповідних понять у лінійній алгебрі. Але не в усіх логічних просторах має місце єдність розкладу векторів за базисом. Простори, в яких ця єдність має місце, називаються досконалими, а решта – недосконалими. При диз'юнкції або добутку на скаляр векторів будь-якого логічного простору координати цих векторів відносно заданого базису диз'юнктуються або помножуються на цей скаляр. Поняття ізоморфних логічних просторів, їх властивості, а також механізм побудови матриць переходу від одного базису до іншого й зворотного переходу також повністю аналогічні цим процедурам у лінійній алгебрі.

Доведено, що в будь-якому логічному просторі існує ортогональна матриця А переходу до нового базису й ортогональна матриця В зворотного переходу та В=АТ. Наслідком з цього є той чинник, що в досконалому логічному просторі існує єдина матриця переходу А і єдина матриця зворотного переходу В і вони ортогональні та В=АТ. Внаслідок ізоморфізму алгебри ідей і алгебри булевих функцій, у булевому просторі існує єдиний розклад кожного його вектора за базисом, тобто повний булевий простір є досконалим. Доведено, що повний простір т-місних предикатів над скалярним полем п-місних предикатів, n<m, теж є досконалим. Запропоновано наступний алгоритм побудови одного з можливих базисів такого простору. Складемо множину Х із всіляких наборів аргументів xn+1,..., xm: Х={ (xn+1,..., xm), xiKi, n+1im}. Для стислості запису елементи Х обозначимемо через v. За базисні беруться предикати, що мають вигляд

 

Qv (x1,..., xn, xn+1,..., xm) = , vХ, (1)

 

тобто в базисному гиперкубі усі вершини, в яких зафіксовано значення останніх (т-п) змінних, дорівнюють одиниці, а решта – нулю. Індексом v при цьому для базисного вектора є набір зафіксованих значень змінних (xn+1,..., xm). Далі розглянуто будь-який вектор l (x1,..., xm) L. Його можна подати у вигляді такої лінійної комбінації базисних векторів:

 

l (x1,..., xm) = l (x1,..., xn, v) Qv (x1,..., xn, xn+1,..., xm), (2)

 

де l (x1,..., xn, v) є п-місним предикатом, тобто елементом Pv (x1,..., xn) скалярного поля G. Таким чином, рівняння (2) набуває вигляду

 

l (x1,..., xm) = Рv (x1,..., xn) Qv (x1,..., xn, xn+1,..., xm), (3)

 

що є розкладом вектору l за побудованим описаним вище базисом. Очевидно, що розклад будь-якого вектору за цим базисом є єдиним.

Слід відзначити, що у випадку подання векторів простору т-місних скінченних предикатів як просторів Хеммінгу то, якщо позначити предикати відповідного т-мірного коду та коду, що перекручений завадою, через Q1 i Q2 відповідно, та врахувати, що для виявлення r-кратної та виправлення s-кратної помилок відстань за Хеммінгом d=1+r+s, rs, можна стверджувати, що вектор Q=Q1Q2 у побудованому описаним таким чином базисі повинен мати дві і лише дві координати, що не дорівнюють нулю, тобто арність предикатів, що складають скалярне поле, дорівнює n=d-1, тобто n=r+s. Розмірність повного предикатного логічного простору знаходиться за формулою р=kn+1kn+2... km, а у випадку К1=... =Кm=k – за формулою p=km-n. Розмірність повного булевого простору дорівнює р=т.

Кон'юнкцією (запереченням) логічних веторів повного логічного простору є вектор цього ж простору, координати якого дорівнюють кон'юнкції (запереченню) відповідних координат векторів, що буруть участь у визначеній операції. Доведено, що кон'юнкція та заперечення логічних векторів не залежать від вибору базису. Внаслідок цього, при проведенні цих операцій над векторами аналогічні операції проводитимуться над відповідними вершинами гіперкубів. Для векторів досконалих логічних просторів мають місце такі властивості. Враховуючи ці властивості, множину логічних векторів можна розглядати за логічне поле. Доведено, що для будь-якого базису досконалого логічного простору кон'юнкція будь-яких базисних векторів дорівнює нульовому вектору.

Четвертий розділ присвячено дослідженню математичного апарату логічних операторів. Поняття логічного оператора та пов'язані з ним поняття образу, прообразу, взаємо однозначного, одиничного, нульового, зворотного, перестановочного оператора та добутку логічних операторів вводиться аналогічно відповідним поняттям у лінійній алгебрі. Логічний оператор називається лінійним, якщо для нього виконуються властивості однорідності та адитивності. Механізм побудови матриці лінійного логічного оператора такий же, що і в лінійній алгебрі. Однак, у недосконалому логічному просторі одному лінійному оператору може відповідати декілька матриць. У зв'язку з цим у даній дисертаційній роботі описано апарат лінійних логічних операторів лише для досконалих логічних просторів. У булевому логічному просторі будь-яка матриця відповідає деякому логічному оператору. Але в предикатних просторах матриці Аqp відповідає деякий оператор лише тоді, коли q= ...  , p= ...  , де mp и mq – арності предикатів, що є векторами просторів прообразів і образів відповідно. У випадку, коли k1=... =km=k, q= , p= . Множина матриць лінійних логічних операторів у предикатних логічних просторах є підмножиною множини усіх логічних матриць над відповідним предикатним скалярним полем. Міцність цієї підмножини для кожних