Біфуркації та стійкість нелінійних коливань деформівних систем

The thesis is presented for a Doctor Degree of Technical Science by speciality 01. 02. 04- “Mechanics of Deformable Solids“. – A. N. Podgorny Institute for Problems of Engineering Mechanics, Kharkov, 2004.

The scientific and engineering problem, which is consists of analysis of bifurcation and stability of nonlinear oscillations to study beams, cylindrical shells, the solution of the problem of vibrations absorption, analysis of frictional oscillations, impact systems and transmissions, are solved.

The development of asymptotic Melnikov method to study bifurcations leading to chaotic states is given in this work. This development consists of the presentation the equations of motions with respect to angle – action coordinate and considering the motions with large amplitudes satisfying the resonance condition. To study this motions the average procedure and the theory of local bifurcations is applied. The new approach based on the joint use of the multiple scales method and Melnikov method is suggested to study the systems under the action of quasi periodic force.

New development of the nonlinear normal mode method to study the absorption and localization of free and forced vibrations problem are suggested. The approach for forced vibrations absorption, which is used Rausher method, nonlinear normal form method and asymptotic method, is suggested.

The new approach for bifurcations analysis in the systems with small parameters based on the joint use of the multiple scales method to derive the modulation equations and center manifold method to analyze bifurcations is presented. The amplitude surface method for the bifurcation analysis in the case of variation of several parameters is suggested.

Forced oscillations of the geometrical nonlinear beams in the case of combination resonance are analyzed. This problem is solved by the multiple scales method. In the region of combination resonance the quasi periodic oscillations take place. The center manifold method is used to study the behavior of such oscillations. The parametric oscillations of beams with three equilibriums are studied. Nonlinear curvature, nonlinear inertia and nonlinear damping are taken into account in the beam model. The saddle- node bifurcations and the regions of homoclinic chaos are studied by Melnikov method.

Free and forced vibrations of simply supported cylindrical shell are studied. The shell vibrations are presented in the form of two unsymmetrical modes and axisymmetrical one. The nonlinear normal form method is used to study free vibrations and multiple scales method is used to study forced oscillations. The parametric oscillations of clamped-free shell with big disk at the end are studied. Longitudinal, bending and torsional shell oscillations are taken into account in the shell model.

Key words: bifurcation behavior, asymptotic method, beams, cylindrical shell, frictional interaction, impact systems.

 

 

Аврамов К. В. Бифуркации и устойчивость нелинейных колебаний деформируемых систем. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 01. 02. 04 – “Механика деформируемого твердого тела”. – Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2004.

В работе решена научно – техническая проблема, которая состоит в анализе бифуркаций и устойчивости нелинейных колебаний деформируемых систем для исследования гибких стержней, цилиндрических оболочек, решения проблем гашения колебаний деформируемых систем, анализа поведения систем с фрикционным взаимодействием, виброударных систем и силовых передач.

В работе дано развитие асимптотического метода Мельникова для исследования бифуркационного поведения, приводящего к хаотическим колебаниям. Это развитие состоит в представлении уравнений движения относительно переменных угол – действие и анализа движений с большими амплитудами, удовлетворяющих резонансным условиям. Для исследования этих движений применяется метод усреднения и теория локальных бифуркаций. Для систем, находящихся под действием почти периодических нагрузок, разработан подход, основанный на совместном использовании метода многих масштабов для получения модуляционных уравнений с малым параметром и метода Мельникова. Порождающие уравнения модуляционной системы содержат гетероклинические траектории. Для исследования хаоса предложено использовать функцию Мельникова.

В работе дано развитие метода нелинейных нормальных форм для решения проблем гашения и локализации свободных и вынужденных колебаний деформируемых систем. Разработан подход к анализу проблемы гашения вынужденных колебаний, который использует идею метода Раушера, метода нелинейных нормальных форм и асимптотические процедуры.

Разработан подход для анализа бифуркаций нелинейных колебаний деформируемых систем с малым параметром, основанный на совместном использовании метода многих масштабов для построения модуляционных уравнений и метода центральных многообразий для анализа бифуркаций. Предложен метод амплитудных поверхностей для исследования бифуркационного поведения при изменении нескольких характерных параметров деформируемых систем. Для расчета амплитудных поверхностей предложено совместно использовать расчет бифуркационных линий в плоскости двух параметров и бифуркационных диаграмм.

Исследованы вынужденные поперечные колебания гибких стержней в области комбинационного резонанса с учетом цепных усилий. Задача решена методом многих масштабов, который показал, что в области комбинационного резонанса наблюдаются почти периодические колебания. Исследовано бифуркационное поведение этих колебаний методом центральных многообразий. Исследованы параметрические колебания гибких стержней с тремя положениями статического равновесия. В модели стержня учтена нелинейная кривизна, нелинейная инерционность и нелинейное демпфирование. Методом Мельникова исследованы седло – узловые бифуркации и области гомоклинического хаоса. Рассмотрены параметрические колебания с большими амплитудами, которые удовлетворяют резонансным условиям.

Исследованы свободные и вынужденные колебания шарнирно – опертых цилиндрических оболочек. Колебания оболочек представлены в виде суммы двух несимметричных форм и одной осесимметричной формы. Для исследования свободных колебаний применен метод нелинейных нормальных форм, а для исследования вынужденных колебаний − метод многих масштабов. Исследованы параметрические колебания цилиндрической оболочки с одной стороны жестко защемленной, а с другой − несущей большой диск. В модели оболочки учтены продольные, изгибные и крутильные колебания. Исследован основной параметрический резонанс в системе модальных уравнений методом многих масштабов.

Рассматривается деформируемая система под действием почти периодической нагрузки и взаимодействующая с движущейся лентой. Эта система исследована с помощью совместного использования методов многих масштабов, Ван-дер- Поля и Мельникова. Рассмотрена область хаотических колебаний и бифуркации почти периодических режимов.

Исследованы нелинейные колебания в виброударных системах с помощью метода амплитудных поверхностей. Классифицированы бифуркации коразмерности два по виду амплитудных поверхностей. Рассмотрены вынужденные крутильные колебания в силовых передачах трехцилиндровых и двухцилиндровых двигателей внутреннего сгорания.

Ключевые слова: бифуркационное поведение, асимптотические методы, гибкие стержни, цилиндрические оболочки, фрикционное взаимодействие, виброударные системы.