Біфуркації та стійкість нелінійних коливань деформівних систем

Основні положення та результати дисертаційної роботи обговорювались на наукових конференціях, симпозіумах та наукових школах: Міжнародна науково – технічна конференція “Компьютер: наука, техника, технология, здоровье” Харків – Мішкольц, 1994, 1995, 2003; International Conference of Industrial and Applied Mathematics 1995, Гамбург, Німеччина; Third SIAM Conference on Control, USA, 1995, Український математичний конгрес, Київ, 2001; Dynamical Systems Modeling and Stability Investigations, Киев, 2001; 4th Euromech Nonlinear Oscillations Conference, Москва, 2002; 8th International Conference Stability, Control and Rigid Bodies Dynamics, Донецьк, 2002; Dynamical Days Europe, Heidelberg, Німеччина, 2002; Dynamical Systems Modeling and Stability Investigations, Київ, 2003; The Fourth International Conference Tolls for Mathematical Modeling, Санкт – Петербург, 2003; Summer School- Conference “Advanced Problems in Mechanics”, Санкт – Петербург, 2003; Summer School- Conference “Advanced Problems in Mechanics”, Санкт – Петербург, 2004; Euromech Colloquium 457 On Nonlinear Modes of Vibrating Systems, France, 2004; “Nonlinear Dynamics KPI“, Харків, Україна 2004; 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Warsaw, Poland, August, 2004.

Публікації. За результатами досліджень, що наведені у дисертаційній роботі, здобувачем опубліковано 41 (з них 20 без співавторів) наукових праць, серед яких 29 – статті, опубліковані в наукових журналах і збірниках з переліку фахових видань ВАК України; 12- тези і доповіді, опубліковані в збірниках праць наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертацій. Дисертаційна робота складається зі вступу, семи розділів, висновків, списку використаних літературних джерел з 286 найменувань (на 26 стор.) і додатків. Повний обсяг роботи складає 395 стор., у тому числі основний текст – 293 стор., 118 рисунків на 62 стор., 3 таблиць на 2 стор., 6 додатків на 11 стор.

 

 

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертації, сформульовані мета й основні задачі досліджень, висвітлені наукова новизна, теоретичне і практичне значення одержаних результатів, наведені відомості про публікації, особистий внесок автора, ступінь апробації роботи.

У першому розділі наведено огляд досліджень за темою дисертації. Обговорюються фізико – механічні моделі та явища, які спостерігаються під час нелінійних коливань деформівних систем.

Дослідженню якісної поведінки в нелінійних динамічних системах присвячено роботи А. Пуанкаре, О. О. Андронова, Ф. Холмса, У. Уеди, М. Фейганбаума,

Ю. І. Неймарка, А. М. Самойленка, Л. П. Шильникова, В. І. Гуляєва. В динамічних системах, до яких належать деформівні системи, спостерігаються періодичні, майже періодичні та хаотичні коливання. Періодичні коливання у динамічних системах зазнають локальних біфуркацій. До цих біфуркацій належать: сідло – вузлові; втрати симетрії; подвоєння періоду; біфуркація Неймарка. Значний внесок до теорії глоба-льних біфуркацій зроблено академіком О. О. Андроновим та його учнями. Л. П. Ши-льников досліджував глобальні біфуркації у тривимірних динамічних системах, що дозволило визначити основоположну роль глобальних біфуркацій в утворенні підкови Смейла та хаосу. На сьогодні біфуркації у деформівних системах залишаються малодослідженими.

Відзначається значний внесок А. Д. Морозова, Л. І. Маневича, А. Вакакиса, Ф. Холмса та інших у дослідження нелінійних коливань, які описуються консервативними моделями. В їхніх дослідженнях сформульовані різноманітні підходи та отримані нові результати.

Далі розглядаються аналітичні методи дослідження нелінійних коливань. Суттєвий внесок в теорію асимптотичних методів зробили М. М. Крилов, М. М. Бо-голюбов, О. О. Андронов, І. Г. Малкін, В. К. Мельников, Ф. Холмс, Ю. А. Мітро-польский А. Х. Найфе, Л. І. Маневич. Аналіз робіт цих авторів та їхніх послідовників дозволив виявити нові можливості методів: багатьох масштабів; Мельникова; нелінійних нормальних форм; центральних багатовидів для дослідження нелінійних коливань у деформівних системах. Зроблено висновок, що для ефективного дослідження деформівних систем потрібен подальший розвиток цих методів.

У цьому розділі подано аналіз робіт з проблем нелінійної динаміки деформівних систем. Відзначається істотний внесок В. В. Болотіна, А. С. Вольміра, В. І. Гуляєва, А. Х. Найфе, Креспо да Сілва, Еван-Іванівського та інших у дослідження нелінійних коливань гнучких стрижнів. Зроблено висновок, що незважаючи на значну кількість досліджень з коливань стрижнів, комбінаційні резонанси з урахуванням ланцюгових зусиль та параметричних коливань стрижнів з трьома положеннями статичної рівноваги ще не досліджено.

У фундаментальних роботах Е. Довелла, Д. Евенсена, А. С. Вольміра, В. Д. Ку-бенка, В. А. Баженова, В. І. Гуляєва, А. П. Філіппова, В. В. Болотіна, Л. І. Маневича, А. І. Потапова надані результати з дослідження коливань геометрично нелінійних циліндричних оболонок. Проте нелінійні коливання оболонок – набагато менш розроблена галузь нелінійних коливань, ніж нелінійні коливання пластин, стрижнів або дискретних систем. З аналізу робіт у цьому напряму випливає, що залишаються недослідженими нелінійні коливання циліндричних оболонок у разі двох внутрішніх