Біфуркації та стійкість нелінійних коливань деформівних систем

Наступний цикл публікацій, які аналізуються в огляді, присвячується важливим проблемам гасіння коливань. Відзначається суттєвий внесок В. М. Карабана, С. Шоу, С. Натсиаваса та інших у проблему дослідження гасіння коливань деформівних систем. Проте показано, що залишаються недослідженими системи з гасником у вигляді пружних елементів з проклацюванням (ферма Мізеса, полога оболонка).

Наведено аналіз публікацій, присвячених фрикційним коливанням. Тут відзначається внесок В. О. Кононенка, К. В. Фролова, И. В. Крагельського, К. Поп-па, Ф. Муна, Я. Аврайцевича та інших у дослідження нелінійних коливань деформівних систем, які взаємодіють з рухомою стрічкою завдяки силі тертя. Відзначається, що незважаючи на велику кількість робіт з фрикційних коливань, залишаються не дослідженими пружні системі, які знаходяться під дією майже періодичних збуджень та таких, що взаємодіють з рухомою стрічкою. Далі наведено огляд стану проблеми з теорії коливань віброударних систем. Відзначено внесок у цей напрям В. Ф. Журавльова, В. Н. Піліпчука, В. І. Бабицького, А. П. Іванова, А. Є. Кобринського, С. Шоу. Показано, що на цей час залишаються не дослідженими біфуркації корозмірності два у віброударних системах та системах з великою кількістю степенів вільності.

Наприкінці розділу сформульовані нові задачі досліджень, які вирішено у дисертації.

У другому розділі розвинені методи аналізу біфуркацій та стійкості нелінійних коливань. Так, надається розвиток методу Мельникова для дослідження субгармонічних коливань та їхніх біфуркацій, які призводять до проклацювання. Це проклацювання має хаотичний характер. Для вирішення сформульованої задачі рівняння динамічної системи записуються відносно змінних кут – дія. Далі досліджуються рухи системи біля резонансних енергетичних рівнів

де – значення дії на цих рівнях. Величини визначаються з резонансних умов: – період вільних коливань породжувальної системи; – період збурення.

Для опису рухів біля резонансних енергетичних рівнів отримана неавтономна динамічна система відносно

Ця система методом Крилова – Боголюбова зводиться до автономної динамічної системи у площині.

Запропоновано також підхід до дослідження динамічних систем, які знаходяться під дією майже періодичних навантажень. Цій підхід ґрунтується на спільному використанні методу багатьох масштабів та методу Мельникова. Досліджено динамічну систему у вигляді

де – два незалежних малих параметри; – частоти майже періодичного збудження.

З багатомасштабних асимптотичних розкладань по   отримаємо таку систему модуляційних рівнянь:

Якщо, система містить дві гетероклінічні орбіти, які з’єднуються у двох сідлових точках (рис. 1). Під час збурення цих орбіт доданками у перерізах Пуанкаре може спостерігатися гомоклінічна структура, яка є критерієм утворення хаотичних коливань. Для визначення області існування цієї структури запропоновано досліджувати функцію Мельникова.

Далі у цьому розділі дано розвиток методу нелінійних нормальних форм коливань для проблем гасіння рухів деформівних систем. Розглядається пружна система з одним степенем вільності, яка здійснює вимушені коливання та взаємодіє з істотно нелінійним гасником. Як гасник розглядається пружна система з проклацюванням (ферма Мізеса). Рівняння коливань цієї системи подаються у вигляді

де – узагальнена координата основної системи; – координата, яка характеризує рухи проклацювання гасника; – малий параметр.

Якщо, система є суттєво нелінійною. Режим гасіння коливань подамо у вигляді. Ця формула описує значні амплітуди коливань гасника та малі амплітуди основної системи. За нульове наближення режиму гасіння коливань описується такими співвідношеннями:

Розв’язок рівняння (6) подається у вигляді. Це наближення вводиться у праву частину системи (5)

Використовуючи це співвідношення, отримуємо псевдоавтономну динамічну систему, яка може бути досліджена методом нелінійних нормальних форм. Рівняння коливань у конфігураційному просторі подаються у вигляді

Для дослідження біфуркацій та стійкості нелінійних деформівних систем надзвичайно ефективним є метод багатьох масштабів, який дозволяє отримати систему модуляційних рівнянь. Тоді біфуркації механічної системи відповідають біфуркаціям нерухомих точок модуляційних рівнянь. Для дослідження цих біфуркацій у роботі використовується метод центральних багатовидів, який проектує систему модуляційних рівнянь на центральний багатовид.

У цьому розділі роботи запропоновано новий метод амплітудних поверхонь для дослідження біфуркації системи у разі квазістатичного змінення двох характерних параметрів. Тоді дослідження біфуркацій зводиться до їхнього геометричного подання. Амплітудна поверхня дозволяє досліджувати біфуркації різного типу. Як приклад амплітудна поверхня наведена на рис. 2. На цьому рисунку зображені дві сідло-вузлові біфуркаційні лінії та, які з’єднуються у біфуркаційній точці корозмірності два. Біфуркаційні лінії у площині параметрів зображені на рис. 3.

Для аналізу амплітудних поверхонь у роботі запропоновано алгоритми розрахунку біфуркаційних ліній та біфуркаційних діаграм на основі методу продовження розв’язків, який дозволяє дослідити біфуркації у динамічних системах досить загального виду з будь-якою кількістю степенів вільності.

У роботі запропоновано метод дослідження нелінійних коливань де-формівних систем з великою кількістю степенів вільності. Припускається, що механічна модель має узагальнених координат. Тоді коливання системи описуються такою системою диференційних рівнянь:

Метод аналізу системи (9) ґрунтується на спільному використанні методу гармонічного балансу та методу продовження розв’язків за параметром. Припускається, що коливання механічної системи мають такий вигляд:

У результаті використання методу гармонічного балансу маємо систему нелінійних алгебраїчних рівнянь відносно амплітуд гармонік. Для отримання амплітудно – частотної характеристики ця система нелінійних рівнянь вирішується методом продовження розв’язків за параметром. Як показав досвід чисельних розрахунків, цим методом ефективно досліджувати деформівні системи до 20 степенів вільності.

Третій розділ роботи присвячено дослідженню вимушених та