Біфуркації та стійкість нелінійних коливань деформівних систем

Вимушені коливання шарнірно опертих стрижнів з нерухомими кінцями з урахуванням ланцюгових зусиль описуються таким рівнянням відносно безрозмірних параметрів:

де W – безрозмірний прогин стрижня; – безрозмірні ланцюгові зусилля.

До рівняння (11) застосуємо метод Бубнова – Гальоркіна для отримання модальних рівнянь з малим параметром відносно загальних координат

де – частота збудження; – власні частоти.

За система лінійна. Для дослідження системи (12) у роботі використовується метод багатьох масштабів. Розглядається комбінаційний резонанс. У результаті використання методу багатьох масштабів отримана система рівнянь відносно амплітуд та фаз (модуляційні рівняння)

де – амплітуда періодичної сили. Система (13) є основою для подальшого аналізу.

Далі доводяться теореми про властивості траєкторій модуляційних рівнянь. Доведено, що у разі виконання нерівності у модуляційній системі (13) існує тільки одна глобально стійка нерухома точка, яка відповідає періодичним коливанням гнучкого стрижня. Для встановлення цього факту використовувались функції Ляпунова. У роботі додатково доводяться шість теорем про властивості фазового простору системи модуляційних рівнянь.

Це рівняння використовується для подальшого аналізу біфуркацій.

Результати аналітичних досліджень модуляційних рівнянь добре збігаються з даними чисельного моделювання, які наведені у цьому розділі.

У розділі доведено таку теорему.

Теорема. У зоні комбінаційного резонансу нелінійні коливання гнучкого стрижня майже періодичні. В цій системі не спостерігається явище замикання частот. Властивості нелінійних коливань, які отримані аналітично, добре збігаються з результатами чисельного моделювання, які наведені у цьому розділі.

Далі у розділі наведені результати досліджень параметричних коливань стрижня (рис. 5). Припускається, що, де – критичне навантаження. У моделі стрижня враховується нелінійне співвідношення для кривизни нейтральної осі, нелінійна інерція, яка пояснюється рухом маси, та нелінійне демпфування, яке визначається силою в’язкого тертя, що діє на масу. Тоді рівняння коливань стрижня набувають такого вигляду:

З використанням методу Бубнова – Гальоркіна рівняння параметричних коливань стрижня отримані у вигляді одномодового наближення:

Підкреслюється, що породжувальна система є істотно нелінійною з нерухомою точкою типа “сідло” та гомоклінічною орбітою. У разі збудження цієї породжувальної системи у перерізах Пуанкаре спостерігається гомоклінічна структура.

Для дослідження сідло – вузлових біфуркацій субгармонічних коливань, які знаходяться всередині гомоклінічних орбіт, використовувалась субгармонічна функція Мельникова, яка набуває такого вигляду:

У рівняннях (21) інтегрування здійснюється вздовж траєкторії породжувальної системи (19). З аналізу функцій (20) отримані сідло – вузлові біфуркаційні лінії, які зображені на рис. 6. У роботі досліджено сідло-вузлові біфуркаційні лінії для субгармонічних траєкторій, які знаходяться поза гомоклінічними орбітами.

У дисертації зроблено якісний аналіз траєкторій, які знаходяться біля резонансних енергетичних рівнів. Для вирішення цієї задачі використовувався метод Мельникова, який запропоновано у другому розділі роботи. В результаті отримана динамічна система в площині, яка описує біфуркації

Система (22, 23) є системою (2) для параметричних коливань гнучкого стрижня з трьома положеннями статичної рівноваги.

Система (22, 23) досліджувалась якісними методами теорії динамічних систем. В цьому дослідженні визначались нерухомі точки, їхня стійкість та біфуркації. Було визначено та докладно досліджено глобальні гетероклінічні біфуркації. Для дослідження цих біфуркацій використовувалась гомоклінічна функція Мельникова. В результаті аналізу була встановлена біфуркаційна поведінка системи (рис. 7). На рис. 7 зображені дві сідло – вузлові біфуркаційні лінії (PZ) та (SU), у результаті яких народжувались нерухомі точки системи (22, 23). Фазовий портрет системи на біфуркаційній лінії (PZ) наведено на рис. 8. Якщо параметри системи (22, 23) знаходяться в області B, то динамічна поведінка системи якісно зображена на другому фазовому портреті (рис. 8). На гетероклінічній біфуркаційній лінії сідлові нерухомі точки з’єднуються з гетероклінічними траєкторіями, які утворюються з’єднанням періодичних рухів та сепаратрис. Цій біфуркації відповідає третій фазовий портрет (рис. 8). Відзначимо, що фазові портрети (рис. 8) топологічно еквівалентні перерізам Пуанкаре динамічної системи (19).

Аналітичні результати, що наведені у цьому розділі, добре збігаються з даними чисельного моделювання.

У роботі досліджуються нелінійні нормальні форми коливань, близькі до прямої:. Отримано кубічне рівняння відносно, яке описує прямолінійні апроксимації у конфігураційному просторі. Після аналізу цього рівняння та чисельного дослідження динамічної моделі (26) зроблено висновок про те, що у динамічної системи існує тільки одна нелінійна нормальна форма. У роботі досліджено стійкість та біфуркації цієї нормальної форми. Заради цього рівняння коливань (26) записувались у полярних координатах. Отримана система рівнянь досліджувалась методом багатьох масштабів. В результаті аналізу встановлено, що нелінійна нормальна форма втрачає стійкість та від цієї форми відділяються майже періодичні коливання. Результати аналітичного аналізу порівнювались з результатами чисельного моделювання, які подаються у роботі.

Далі у розділі наводяться результати досліджень вимушених коливань циліндричних оболонок, які мають вигляд біжучих хвиль уздовж окружної координати. На відміну від аналізу вільних коливань, де амплітуда осесиметричної форми припускалась малою та виражалась через та, у аналізі вимушених коливань розглядався випадок, коли між частотами лінійних коливань неосесиметричної та осесиметричної форм виконується умова внутрішнього резонансу. В цьому випадку частина енергії коливань з узагальнених координат та перекачується у осесиметричну форму. Тоді коливання оболонки описуються трьома степенями вільності

За допомогою методу багатьох масштабів показано, що в системі можливі такі резонанси: a). b). с).