Біфуркації та стійкість нелінійних коливань деформівних систем

Методом багатьох масштабів механічна система з трьома степенями вільності зведена до шести автономних модуляційних рівнянь. Досліджено два типи рухів: стояча хвиля, яка характеризується рівнянням, та біжуча хвиля:. Показано, що для аналізу стоячої хвилі необхідно знайти розв’язок кубічного рівняння, яке описує АЧХ (рис. 9). Відзначимо, що АЧХ системи є жорсткою, що є наслідком урахування двох внутрішніх ре-зонансів та малості числа хвиль в окружному напрямку.

Для дослідження біжучих хвиль розглядались нерухомі точки системи шести автономних модуляційних рівнянь. Цей аналіз проводився алгоритмом продовження розв’язку за параметром, який розглянуто у другому розділі роботи. В системі шести модуляційних рівнянь досліджувалась послідовність біфуркації подвоєння періоду, яка призводить до хаосу. Далі наводяться результати досліджень коливань циліндричних оболонок під дією сейсмічного навантаження з диском, який прикріплено до оболонки (рис. 10). Геометрично нелінійна модель оболонки одержана на основі рівнянь Сандерса – Койтера. Під час виведення кінетичної енергії враховувались рухи оболонки та диску. Кінетична енергія диска враховує поступовий рух та обертання. В результаті кінетична енергія системи має такий вигляд:

де кінетична енергія оболонки, яка враховує поздовжні, крутильні та згинальні коливання.

Теорія Сандерса – Койтера враховує співвідношення між деформаціями та переміщеннями

В результаті дискретизації модель оболонки була зведена до системи з дев’яттю степенями вільності. Під час отримання цієї моделі використовувались експериментальні дані про коливання оболонки. Для отримання цієї системи було виконано дискретизацію кінетичної та потенційної енергій. Тоді система з дев’ятьма степенями вільності була отримана у вигляді

Система (30) була подана відносно нормальних координат лінійної задачі. Ця динамічна система була скорочена до трьох степенів вільності. У системі трьох рівнянь було досліджено основний параметричний резонанс (це співвідношення подано у відносних параметрах). Власна частота згинальних коливань має такий вигляд:. Основний параметричний резонанс досліджено методом багатьох масштабів. В результаті отримано систему чотирьох модуляційних рівнянь, з яких знайдено границю області динамічної нестійкості (рис. 11). Для дослідження поведінки системи у цій області система (30) досліджувалась методом продовження розв’язків, який наведено у другому розділі роботи. В результаті було отримано АЧХ (рис. 12). Значні амплітуди коливань у цьому резонансі виникають завдяки біфуркаціям подвоєння періоду.

У п’ятому розділі наведено розв’язок проблеми гасіння вільних та вимушених коливань у деформівних системах з гасником, який проклацює між трьома положеннями статичної рівноваги (ферма Мізеса). Основні результати отримані для механічної системи, яка складається з лінійного осцилятора та нелінійного гасника – ферми Мізеса.

Спочатку у роботі досліджено малі коливання ферми Мізеса коло положення статичної рівноваги. У цьому випадку у динамічної системи існують дві нелінійні нормальні форми коливань. Розглянемо першу локалізовану форму. Цей режим має малі коливання основної системи та помірні коливання ферми Мізеса коло положення статичної рівноваги

де визначаються за допомогою методу нормальних форм.

Режим гасіння коливань отримано у вигляді прямої у конфігураційному просторі:. Аналітичні розрахунки показали, що локальна форма коливань є стійкою. Методом нелінійних нормальних форм було досліджено другу нелокалізовану нормальну форму, яка близька до прямої:. В результаті асимптотичного аналізу було отримано коефіцієнти. Аналіз стійкості цієї форми зводиться до рівняння Мат’є, області стійкості якого добре відомі. В області нестійкості нелокалізованої форми коливань відбувається перехід до сприятливого для гасіння режиму проклацювання ферми Мізеса.

Методом нелінійних нормальних форм знайдені коефіцієнти. Цей режим гасіння коливань досліджувався чисельним моделюванням. Результати розрахунків, які наводяться у конфігураційному просторі (рис. 14), добре збігаються з аналітичними даними. Аналіз стійкості режиму гасіння коливань зводиться до рівняння Хілла, яке має такий вигляд:

У роботі наведено результати аналізу області динамічної нестійкості режиму гасіння коливань за допомогою методу багатьох масштабів. Досліджено такі резонанси: де З використанням методу багатьох масштабів отримані модуляційні рівняння

Області нестійкості рівняння Хілла (35) відповідають областям нестійкості рівняння (36). Ці області показано на рис. 15. Із аналізу рис. 15 випливає, що для фізично можливих параметрів ферми Мізеса режим гасіння коливань є стійким. Отже, зроблено висновок, що ферма Мізеса є ефективним гасником вільних коливань.

Досліджено можливість гасіння вимушених коливань у системі (рис. 13) під дією періодичної сили. Розроблено підхід, який поєднує метод нелінійних нормальних форм та метод Раушера. Тоді нульове наближення режиму гасіння коливань (ε=0) має такий вигляд:

де – еліптичний інтеграл першого роду. Використовуючи (37), періодичну силу, яка діє на основну масу системи, подамо у такому вигляді:

Тепер періодична сила (38) вводиться у рівняння коливань. В результаті отримуємо псевдоавтономну динамічну систему, до якої застосовується метод нелінійних нормальних форм. Режим гасіння коливань має вигляд

За результатами аналізу вимушених коливань розраховувалась амплітудно – частотна характеристика. АЧХ лінійної системи без гасника та АЧХ лінійної системи з гасником наведено на рис. 16. У системі з гасником резонанс не виявляється.

У роботі досліджено несприятливий режим для гасіння вимушених коливань, коли ферма Мізеса здійснює малі коливання біля положення стійкої статичної рівноваги. У цьому випадку рівняння коливань мають такий вигляд:

У системі (40) методом багатьох масштабів було досліджено резонанси де –