Біфуркації та стійкість нелінійних коливань деформівних систем

• Уперше, у дослідженнях резонансних нелінійних коливань деформівних систем асимптотичний метод Мельникова застосовано для рівнянь руху, які складені відносно змінних „кут – дія”, що дозволило аналітично дослідити сідло – вузлові біфуркації.

• Запропоновано нові підходи щодо встановлення межі хаотичних коливань та аналізу біфуркацій за майже періодичного збудження деформівних систем.

• Для аналізу біфуркацій асимптотичний метод багатьох масштабів використано для побудови модуляційних рівнянь, а метод центральних багатовидів – для аналізу біфуркацій, що дозволило дослідити біфуркаційні лінії корозмірності один та біфуркаційні точки корозмірності два.

2. Запропоновано новий підхід до вирішення проблем гасіння вимушених коливань, що застосовує метод нелінійних нормальних форм та метод Раушера.

• Уперше метод нелінійних нормальних форм коливань поширено на розв’язання нових задач гасіння, локалізації вільних та вимушених коливань деформівних систем.

• Установлено нові можливості гасіння та локалізацій вимушених коливань у деформівних системах з гасником типу ферми Мізеса.

3. Для дослідження біфуркаційної поведінки періодичних коливань у разі зміни двох характерних параметрів деформівних систем створено метод амплітудних поверхонь, за яким передбачено чисельно-аналітичне визначення біфуркаційних ліній у площині двох параметрів та розрахунок біфуркаційних діаграм.

4. Запропоновано новий підхід щодо чисельного дослідження нелінійних коливань механічних систем з великою кількістю степенів вільності.

• Методом гармонійного балансу отримується система нелінійних алгебраїчних рівнянь відносно амплітуд періодичних коливань, яка вирішується методом продовження розв’язків за параметром.

5. Уперше досліджено комбінаційні резонанси вимушених поперечних коливань гнучких стрижнів та параметричні коливання стрижнів з трьома положеннями статичної рівноваги з урахуванням мембранних сил, нелінійної кривини, нелінійної інерційності та нелінійного демпфування.

• За методом центральних багатовидів встановлено, що у разі комбінаційного резонансу майже періодичні коливання зазнають сідло – вузлової біфуркації.

• Під час параметричних коливань гнучких стрижнів з трьома положеннями статичної рівноваги за методом Мельникова визначені сідло-вузлові біфуркації та область гомоклінічного хаосу.

• Досліджено параметричні коливання стрижнів із значними амплітудами, які задовольняють резонансні умови, за якими встановлено, що коливання стрижнів відповідають поведінці динамічної системи у площині, топологічно еквівалентній перерізам Пуанкаре модального рівняння коливань стрижня.

6. Одержано нові закономірності поведінки у разі нелінійних коливань тонких циліндричних оболонок.

• Для вільних коливань шарнірно опертої циліндричної оболонки з однією осесиметричною та двома несиметричними формами коливань, які створюють біжучу хвилю, одержано систему трьох модальних рівнянь. Встановлено існування однієї нелінійної нормальної форми, що визначається початковими недосконалостями. Стійкість цієї форми втрачається та від неї відокремлюються майже періодичні коливання.

• Для вимушених коливань циліндричної оболонки з двома несиметричними та однією осесиметричною формами коливань методом багатьох масштабів досліджено: стоячі та біжучі хвилі, стійкості стоячих хвиль, модуляцію біжучих хвиль Встановлено, що АЧХ оболонок є жорсткою, що пояснено двома внутрішніми резонансами, а модуляційні рівняння зазнають послідовності біфуркацій подвоєння періоду, за якими спостерігається хаотична модуляція коливань.

• Для параметричних коливань циліндричної оболонки з одним жорстко закріпленим краєм і з диском на іншому краї, на базі моделі оболонки, яка враховує її поздовжні, поперечні та крутильні коливання за “стрижневою”, осесиметричною та несиметричною формами коливань, методом багатьох масштабів досліджено основний параметричний резонанс, визначено область динамічної нестійкості. Методом продовження розв’язків за параметром досліджено поведінку оболонки в цій області. Амплітудно частотна характеристика цих рухів має жорсткий вигляд.

7. Набула подальшого розвитку теорія нелінійних фрикційних коливань за рахунок дослідження біфуркацій та межі хаосу для одномасової системи під час дії майже періодичного навантаження та фрикційної взаємодії з рухомою стрічкою.

• За допомогою методів Холмсу та Ван дер Поля досліджено біфуркації періодичних рухів у системі модуляційних рівнянь, визначено область параметрів, де втрачається стійкість періодичних коливань та виникають майже періодичні коливання.

• Для визначення межі гомоклінічного хаосу в системі модуляційних рівнянь застосовано функцію Мельникова та чисельне моделювання, на підставі чого встановлено, що хаотичні рухи виникають внаслідок послідовності біфуркацій періодичних коливань та хаос в модуляційних рівняннях відповідає хаотичній модуляції майже періодичних коливань.

8. Надано розвитку теорії нелінійних коливань у віброударних системах за рахунок дослідження біфуркацій методом амплітудних поверхонь.

• Уперше за допомогою запропонованого в роботі методу амплітудних поверхонь досліджено нелінійні коливання у віброударних системах, що дозволило надати класифікацію біфуркації корозмірності два за виглядом амплітудних поверхонь в околі біфуркаційних точок.

9. Наведено результати систематичних комплексних досліджень за напрямом розв’язання прикладної проблеми з ідентифікації нелінійних моделей крутильних коливань у силових передачах з двигунами внутрішнього згоряння (ДВЗ) транс-портних машин, які використані на підприємстві КП „Завод ім. Малишева” (м. Хар-ків).

• Розроблені моделі нелінійних крутильних коливань силових передач з три- та дво- циліндровими ДВЗ. У цієї моделі ураховано зазори між шестернями головної передачі. Виконані дослідження коливань, встановлені їхні властивості за зміни частоти обертання колінчатого валу.

10. Вірогідність отриманих у роботі результатів підтверджується добрим збіганням аналітичних та чисельних результатів та також чисельних та експериментальних даних.

 

 

1. Аврамов К. В., Беломытцев А. С., Карабан В. Н.