Біфуркації та стійкість нелінійних коливань деформівних систем

Найбільш суттєвим є резонанс

За допомогою методу багатьох масштабів отримана система модуляційних рівнянь, яка для випадку відсутності демпфування має вигляд

У системі (42) отримано границі області нестійкості коливань з демпфуванням та без нього. Результати розрахунків наводяться на рис. 17.

На підставі проведених досліджень було зроблено такий висновок. У разі застосування гасника коливань (ферми Мізеса) параметри динамічної системи бажано вибирати такими, щоб спостерігалась область динамічної нестійкості. У цьому разі коливання коло положення статичної рівноваги ферми Мізеса є нестійкими, і в системі реалізується режим проклацювання, який є сприятливим для гасіння коливань.

У шостому розділі досліджуються біфуркації та модуляційний хаос у де-формівних системах, які знаходяться під дією майже періодичних навантажень та фрикційно взаємодіють з рухомою стрічкою. Розглядається деформівна система, яка моделюється осцилятором Дуффінга. Кінетична характеристика тертя є функцією відносної швидкості тертьових поверхонь. У безрозмірному вигляді динамічна система відносно загальної координати   буде такою:

Коливання досліджуються у резонансній області: за допомогою методу багатьох масштабів з асимптотичним розвиненням за малим параметром  . В результаті отримуємо систему модуляційних рівнянь

Система (44) містить другий малий параметр системи (43), за яким робляться такі асимптотичні розвинення. Породжувальна система модуляційних рівнянь в області має дві сідлові точки (рис. 1), які з’єднуються гетероклінічними орбітами, та три нерухомі точки типу “центр“. Досліджуємо динаміку системи модуляційних рівнянь коло орбітально стійкої нерухомої точки. Запровадимо перетворення змінних. Тоді визначаються аналітично. В системі модуляційних рівнянь спостерігаються періодичні коливання. Для дослідження стійкості та біфуркацій цих коливань введемо таке перетворення змінних:

В результаті асимптотичного аналізу отримуємо систему неавтономних рівнянь відносно. В цій системі досліджується основний параметричний резонанс: за допомогою методу Ван-дер-Поля, в якому використовується перетворення змінних Динамічна система відносно змінних   має такий вигляд:

Система (46, 47) відносно координат набуває такого вигляду:

Отримана область хаотичних коливань досліджувалась за допомогою чисельного моделювання. Для цього система модуляційних рівнянь (44) інтегрувалась чисельно. В результаті була отримана послідовність біфуркацій подвоєння періоду, яка призводить до хаосу (рис. 20).

У сьомому розділі досліджуються нелінійні коливання у віброударних системах та силових передачах двигунів внутрішнього згоряння. Удари моделюються пружними обмеженнями, з нелінійною жорсткістю. У роботі розглядалась така віброударна система:

Ця система є моделлю силової передачі шестициліндрового транспортного двигуна.

Розроблено чисельний метод для дослідження біфуркаційних точок корозмірності два в віброударних системах. Основою цього підходу є алгоритми продовження біфуркаційних ліній та біфуркаційних діаграм, який використовує метод Ньютона-Канторовича. У цій роботі розроблено новий підхід для розрахунку матриць Якобі методом Ньютона – Канторовича, який значно поліпшує збіжність ітераційних процесів коло біфуркаційних точок корозмірності два. Ідея цього підходу міститься у такому. У роботі отримані системи диференційних рівнянь відносно елементів матриці Якобі. Матриця Якобі має вигляд

де – функція галуження; Деякі елементи матриці Якобі задовольняють такі системи диференційних рівнянь:

У системі (51) виявлені біфуркації подвоєння періоду та сідло-вузлові біфуркації. Для дослідження основного резонансу та біфуркації подвоєння періоду використана амплітудна поверхня. В результаті проведених розрахунків були виявлені та класифіковані різноманітні біфуркації корозмірності два. Амплітудні

поверхні коло деяких біфуркацій показано на рис. 21. Ці точки утворюються з’єднанням сідло-вузлових біфуркаційних ліній.

Сценарії розвитку резонансних коливань коло основного резонансу досліджено за допомогою підходу, який використовує метод гармонічного балансу та продовження розв’язків за параметром. Останній викладено у першому розділі роботи. Досліджувалась силова передача трициліндрового транспортного двигуна (рис. 22). Проаналізовані резонансні коливання в області основного резонансу та скелетні криві. В результаті було досліджено такі властивості. Необлягання АЧХ резонансних коливань скелетної кривої спостерігається у дискретних мас динамічної моделі. Однак амплітуди кутів закручування пружних елементів частотної характеристики в області резонансних амплітуд завжди облягають скелетну криву. Утворення петель та необлягання АЧХ скелетної кривої спостерігається, якщо дві сусідні маси коливаються у протифазі та їхні амплітуди сумірні. У цьому випадку, якщо збуджувальний момент діє на одну з мас, то у цієї маси спостерігається необлягання. Якщо збуджувальний момент діє на обидві маси, то необлягання спостерігається у дискретної маси з меншим моментом інерції.

У роботі досліджено вимушені крутильні коливання силових передач три- та двоциліндрового транспортних двигунів. Динамічна модель силової передачі трициліндрового транспортного двигуна описується нелінійною системою з 15 степенями вільності та одним нелінійним елементом, двоциліндрового з 12 степенями вільності. Створюючи розрахункові схеми силових передач, дані експериментальних досліджень порівнювались з результатами чисельного моделювання. Як приклад, на рис. 23 наведено розрахункові АЧХ та дані експериментальних досліджень.

 

 

У дисертаційній роботі вирішено науково-технічну проблему з нелінійної динаміки деформівних елементів конструкцій та машин, що містить уперше створені автором методи дослідження нелінійних коливань, одержані нові розв’язки задач аналізу біфуркацій та стійкості нелінійних коливань щодо гнучких стрижнів, циліндрових оболонок, систем з миттєво змінними пристроями для гасіння коливань та тих, що мають фрикційно взаємодіючі елементи, віброударних систем та силових передач із двигунами внутрішнього згоряння. Створені автором методи та одержані результати складають суттєвий внесок у розвиток спеціальності 01. 02. 04- механіка деформівного твердого тіла.

Найбільш важливі наукові та практичні результати роботи полягають в такому.

1. Надано подальшого розвитку аналітичним та чисельним