Економіко-математична модель організації рекламної компанії

Предмет:

Тип роботи:

Дипломна робота

К-сть сторінок:

Мова:

Українська

Оцінка:

подій – це послідовність однорідних подій, що наступають одне за іншим у випадкові проміжки часу. На осі часу ці події виглядають як показано на рис. 2. 2.

Рис. 2. 2. Потік випадкових подій [7, c. 87]

де τj – інтервал між подіями (випадкова величина) ;

tсi – момент скоєння i-ї події (відраховується від t=0) ;

Tн – час спостереження.

Прикладом потоку подій можуть служити послідовність моментів торкання злітної смуги літаками, які прилітають в аеропорт.

Інтенсивність потоку λ – це середнє число подій в одиницю часу. Інтенсивність потоку можна розрахувати експериментально за формулою (2. 19) :

(2. 19)

де N – число подій, що сталися за час спостереження Tн.

Якщо інтервал між подіями τj дорівнює константі або визначений формулою у вигляді: tj = f (tj – 1), то потік називається детермінованим. Інакше потік називається випадковим.

Випадкові потоки бувають:

• ординарні: ймовірність одночасної появи двох і більше подій дорівнює нулю;

• стаціонарні: частота появи подій λ (t) = const (t) ;

• без післядії: ймовірність появи випадкової події не залежить від моменту вчинення попередніх подій.

За еталон потоку в моделюванні прийнято брати Пуассонівський потік.

Пуассонівський потік – це ординарний потік без післядії. Ймовірність того, що за інтервал часу (t0, t0 + τ) відбудеться m подій, визначається із закону Пуассона:

(2. 20)

(2. 21)

де a – параметр Пуассона.

Якщо λ (t) =const (t), то це стаціонарний потік Пуассона (найпростіший). В цьому випадку a = λ • t. Якщо λ = var (t), то це нестаціонарний потік Пуассона. Для найпростішого потоку ймовірність появи m подій за час τ дорівнює:

(2. 22)

Ймовірність непояви (тобто ні одного m = 0) події за час τ дорівнює:

(2. 23)

Рис. 2. 3 ілюструє залежність P0 від часу. Очевидно, що чим більше час спостереження, тим імовірність непояви жодної події менше. Крім того, чим більш значення λ, тим крутіше йде графік, тобто швидше убуває ймовірність. Це відповідає тому, що якщо інтенсивність появи подій велика, то ймовірність непояви події швидко зменшується з часом спостереження.

Рис. 2. 3. Графік ймовірності не появи жодної події в часі [7, c. 89]

Імовірність появи хоча б однієї події (PХБ1П) обчислюється так:

(2. 24)

так як PХБ1П + P0 = 1 (або з'явиться хоча б одна подія, або не з'явиться жодного, – іншого не дано).

З графіка на рис. 2. 4 видно, що ймовірність появи хоча б однієї події прагне з часом до одиниці, тобто при відповідному тривалому спостереженні події таке обов'язково рано чи пізно відбудеться. Чим довше ми спостерігаємо за подією (чим більше t), тим більша ймовірність того, що подія відбудеться – графік функції монотонно зростає.

Чим більше інтенсивність появи події (чим більше λ), тим швидше настає ця подія, і тим швидше функція прагне до одиниці. На графіку параметр λ представлений крутизною лінії (нахил дотичної).

Рис. 2. 4. Графік ймовірності появи хоча б однієї події з часом [7, c. 90]

Якщо збільшувати λ, то при спостереженні за подією протягом одного і того ж часу τ, ймовірність настання події зростає (рис. 2. 5). Очевидно, що графік виходить з 0, тому що якщо час спостереження нескінченно мало, то ймовірність того, що подія відбудеться за цей час, незначна. І навпаки, якщо час спостереження нескінченно велик, то подія обов'язково відбудеться хоча б один раз, значить, графік прагне до значення ймовірності 1.

Рис. 2. 5 Вплив величини інтенсивності потоку на ймовірність появи події протягом заданого інтервалу часу τ [7, c. 91]

Вивчаючи закон, можна визначити, що: mx = 1/λ, σ = 1/λ, тобто для найпростішого потоку mx = σ. Рівність математичного очікування середньоквадратичному відхиленню означає, що даний потік – потік без післядії. Дисперсія (точніше, середньоквадратичне відхилення) такого потоку велика. Фізично це означає, що час появи події (відстань між подіями) погано передбачуване, випадково, знаходиться в інтервалі mx – σ < τj < mx + σ. Хоча ясно, що в середньому воно приблизно дорівнює: τj = mx = Tн/N. Подія може з'явитися в будь-який момент часу, але в межах розкиду цього моменту τj щодо mx на [-σ; +σ] (величину післядії). На рис. 2. 6 показані можливі положення події 2 щодо осі часу при заданому σ. В даному випадку говорять, що перша подія не впливає на другу, друга на третю і так далі, тобто післядія відсутня.

Рис. 2. 6 Ілюстрація впливу величини σ на становище події на часовій шкалі [7, c. 93]

За змістом P одно r, тому, висловлюючи τ з формули (2. 24), остаточно для визначення інтервалів між двома випадковими подіями маємо:

(2. 25)

де r – рівномірно розподілене від 0 до 1 випадкове число, τ