Портал освітньо-інформаційних послуг «Студентська консультація»

  
Телефон +3 8(066) 185-39-18
Телефон +3 8(093) 202-63-01
 (093) 202-63-01
 studscon@gmail.com
 facebook.com/studcons

<script>

  (function(i,s,o,g,r,a,m){i['GoogleAnalyticsObject']=r;i[r]=i[r]||function(){

  (i[r].q=i[r].q||[]).push(arguments)},i[r].l=1*new Date();a=s.createElement(o),

  m=s.getElementsByTagName(o)[0];a.async=1;a.src=g;m.parentNode.insertBefore(a,m)

  })(window,document,'script','//www.google-analytics.com/analytics.js','ga');

 

  ga('create', 'UA-53007750-1', 'auto');

  ga('send', 'pageview');

 

</script>

Економіко-математична модель організації рекламної компанії

Предмет: 
Тип роботи: 
Дипломна робота
К-сть сторінок: 
73
Мова: 
Українська
Оцінка: 

– інтервал між випадковими подіями (випадкова величина τj).

 
2.2.3. Принцип максимуму Понтрягіна
 
Ефективним засобом дослідження задач оптимального управління є принцип максимуму Понтрягіна, який представляє собою необхідну умову оптимальності в таких задачах.
Формулювання принципу максимуму. Розглянемо задачу оптимального управління (2. 26) :
  (2. 26)
  ,
де   (2. 27)
 ,
При цьому передбачається, що моменти to, Т фіксовані, тобто розглядається задача з закріпленим часом; множина U не залежить від часу, фазові обмеження відсутні. Покладемо
  (2. 28),
де  - константа,  .
Функція Н називається функцією Гамільтона. Система лінійних диференціальних рівнянь   відносно змінних   називається сполученої системою, відповідної управління u і траєкторії х. Тут
  (2. 29)
У більш докладної покоординатної записі сполучена система приймає вигляд
  (2. 30)
Система (2. 30) має за будь-яких початкових умовах єдине рішення  , визначене і безперервне на всьому відрізку  .
Наступна теорема висловлює необхідні умови оптимальності в задачі (2. 26).
Теорема (принцип максимуму Понтрягіна). Нехай функції   і Ф, g1,..., gm мають похідні по змінним х1,..., Хn і неперервні разом з цими похідними по сукупності аргументів х , u  U, t  [to. Т]. Припустимо, що (u, х) – рішення задачі (2. 26). Тоді існує рішення   сполученої системи (2. 29), що відповідає управлінню u і траєкторії х, і константа   такі, що |   | + ||   (t) || при t  [to, Т], і виконуються наступні умови:
а) (умова максимуму) при кожному t [to. Т] функція Гамільтона, досягає максимуму по   при v = u (t), т. е.
  (2. 31)
б) (умова трансверсальності на лівому кінці траєкторії) існують числа  , такі, що
  (2. 32)
в) (умова трансверсальності на правому кінці траєкторії) існують числа   такі, що
  (2. 33)
Центральним у теоремі є умова максимуму (2. 31). Якщо відмовитися від припущення про те, що кінцевий момент часу Т фіксований, то теорема залишиться справедливої за винятком умови трансверсальності на правому кінці траєкторії. Умову (2. 33) замінимо умовою
  (2. 34)
і додамо ще одну умову трансверсальності на правому кінці траєкторії:
  (2. 35)
Необхідність в принципі максимуму Понтрягіна виникає у разі коли ніде в допустимому діапазоні керуючої змінної неможливо задовольнити необхідній умові.
 
2.3. Чисельне розв’язання економіко-математичної моделі впливу реклами на капітал компанії
 
До розгляду пропонується модель компанії, яка з метою збільшення капіталу у своїй діяльності використовує рекламу. Завдання – визначити S (T) – максимальний капітал компанії за період T в середньому.
Отже, компанія буде характеризуватися S (t) – капітал, яким володіє компанія в момент t. Будемо вважати, що компанія за час [t; t + Δt] несе витрати [c0 + c1S (t) ]. Величина c0 описує постійні витрати, пов'язані з витратами на оренду, світло і т. д., а величина c1 показує витрати, пов'язані з обслуговуванням капіталу, наприклад, податки. Крім того, будемо вважати, що за час [t; t + Δt] частина капіталу αS (t) Δt виділяється на рекламу. Введемо величину R (t) – функцію ефективності реклами. Її вплив проявляється в тому, що потік покупців є пуассонівським потоком з інтенсивністю (l0 + l1R (t)), де l0 визначає інтенсивність потоку покупців без потоку. Тоді зміни капіталу за період часу  t будуть наступними:
1. Відбувається продаж товару на суму   – випадкової величини з функцією розподілу F ( ) з ймовірністю (l0+l1R (t))  t.
2. Нічого не відбувається.
Тому зміни капіталу  S (t) за момент часу  t складуть величину.
  (2. 36)
Отже, за  t S (t +  t) = S (t) +  S (t).
Усереднимо останній вираз M{S (t +  t) } = M {S (t) } + M { S (t) }.
Так як процес покупок випадковий, то величина S (t) є випадковий процес, а отже, і ступінь впливу реклами стає випадковим процесом, оскільки на рекламу виділяється частка капіталу αS (t) Δt.
Позначимо M{S (t) }=S1 (t), M{R (t) }=R1 (t), M{ }=a1.
  (2. 37)
Переносимо в праву частину S1 (t) і ділимо вираз на  t,  t 0.
  (2. 38)
Розглянемо зміну функції ефективності реклами за  t.
Будемо вважати, що на вплив реклами R (t) діють два процеси: а) процес збільшення R (t), обумовлений вкладенням в рекламу капіталу αS (t) Δt і б) процес забування реклами, пропорційний самої R (t). Тому
 , (2. 39)
  (2. 40)
де коефіцієнт   визначає швидкість забування реклами, а   – ступінь впливу грошей, вкладених в рекламу. Усереднюючи, отримаємо
  (2. 41)
або після звичайних перетворень
  (2. 42)
Отримали систему диференціальних рівнянь. Оскільки завданням є отримання максимального капіталу в кінцевий момент часу Т, то з урахуванням введених позначень функціонал буде мати вигляд S1 (t) =>
Фото Капча