Логіка

Результуючi стовпчики не спiвпадають у жодному рядку, отже,

висловлювання протирiчать одне одному.

 

Протилежнiсть Два висловлювання протилежнi, якщо вони мо- жуть бути разом хибними, але не можуть бути разом iстин- ними.

Результуючi стовпчики таких висловлювань спiвпадают тiль- ки за хибою, але у жодному разi не спiвпадают за iстиною.

 

Приклад

Розглянемо такi висловлювання.

1. Iванов скоїв злочин з обтяжуючими обставинами.

2. Iванов скоїв злочин без обтяжуючих обставин. Позначимо:

p – Iванов скоїв злочин,

q – обтяжуючi обставини.

 

 

 

Цi висловлювання протилежнi, так як у 3 i 4 рядках спiльної для них таблицi iстинностi вони одночасно хибнi, але у жодному рядку не iстиннi одночасно.

 

Часткова сумiснiсть Два висловлювання частково сумiснi, якщо вони можуть бути разом iстиннi, але не можуть бути разом хибними.

Результуючi стовпчики таких висловлювань спiвпадают тiль- ки за iстиною, але у жодному разi не спiвпадают за хибою.

 

Приклад

Розглянемо такi висловлювання.

1. Студент не знав або забув.

2. Студент знав або не забув. Позначимо:

p – знав,

q – забув.

 

Цi висловлювання частково сумiснi, так як у 1 i 4 рядках спiльної

для них таблицi iстинностi вони одночасно iстиннi, але у жодному рядку не хибнi одночасно.

 

 

Загальна система логiчних вiдношень

 

 

Не завжди мiж двома висловлюваннями iснує вiдношення. Може статись так, що не можна знайти закономiрностi мiж дво- ма результуючими стовпчиками i пiдiбрати вiдповiдне означення. Наприклад, висловлювання, що вiдповiдають формулам p&q та q&r. Побудувавши для них спiльну таблицю iстинностi, побачимо,

 

 

що у вiдповiдних рядках таблицi обидва висловлювання можуть бути одночасно i iстинними, i хибними. Результуючi стовпчики не однаковi i не повнiстю рiзнi, жодне висловлювання не пiдпо- рядковане iншому. Тобто жодне означення логiчних вiдношень не пiдходить до цiєї ситуацiї. У такому разi кажуть, що такi вислов- лювання логiчно незалежнi.

 

 

Для того, щоб встановити у якому вiдношеннi знаходяться мiж собою висловлювання, потрiбно:

• записати логiчну форму висловлювання;

• визначити загальну кiлькiсть рiзних пропозицiйних змiнних в обох формулах;

• побудувати спiльну таблицю iстинностi для висловлювань;

• визначити результуючi стовпчики;

• знайти (й позначити) спiвпадiння iстиннiсних значень у ре- зультуючих стовпчиках;

• пiдiбрати логiчне вiдношення за означеннями.

 

 

Еквiвалентнi перетворення складних висловлювань

 

Перетворення, в результатi яких отримуються еквiвалентнi висловлювання, називаються еквiвалентними перетвореннями (то- тожнiми, рiвносильними). Рiвносильнi перетворення формул грун- туються на законах логiки, знаючи якi, можна замiняти формулу або ї ї пiдформулу на рiвносильну. В результатi замiни формул або пiдформул на рiвносильнi їм, отримується формула, рiвно- сильна початковiй. Начастiше рiвносильнi перетворення викори- стовують для спрощення формул. Мiж рiвносильними виразами

будемо ставити знак рiвносильностi ≡. Математична рiвнiсть i

знак <дорiвює> – частковий випадок рiвносильностi для матема-

тичних виразiв.

Для полегшення розумiння та спрощення запису формул ча- сто використовують скороченi позначення. Одним з таких скоро- чень є зв’язка еквiваленцiя.

 

 

Еквiваленцiя – логiчна зв’язка, що має мiсце мiж еквiвален- тними висловлюваннями. Еквiваленця iстинна, коли ї ї оби- два компонента мають однакове iстиннiсне значення. Ви- словлювання, що входять до еквiваленцiї, повиннi бути одно- часно iстиннi або одночасно хибнi.

 

 

 

Еквiваленцiя може бути представлена як кон’юнкцiя двох iм- плiкацiй.

A ↔ B ≡ (A ⊃ B) & (B ⊃ A)

Це легко перевiрити, побудувавши вiдповiдну талицю iстинно-

стi. Взагалi, для побудови мови логiки висловлювань достатньо двох зв’язок: будь-якої бiнарної зв’язки та заперечення, але це не- зручно. Хоча дiйсно, за допомогою кон’юнкцiї та заперечння мо- жна побудувати формули, рiвносильнi диз’юнктивним або iмплi- кативним i навпаки.

Iмплiкацiя A ⊃ B ↔ A ∨ B

 

Закони логiки

 

Взагалi законiв логiки безлiч, але деякi з них отримали iсто- ричнi назви. Тому говорити, що законiв логiки три, чотрири або двадцять п’ять, некоректно.

Закон логiки (тавтологiя, трюїзм) – це висловлювання, яке при будь-якому наборi iстиннiсних значень приймає значення <iсти- на>. Фактично, закон логiки – це ЛIВ – логiчно iстинне вислов- лювання. Якщо в мову логiки висловлювань ввести константу, яка буде позначати логiчну iстину T (вiд англiйського truth – iстина), то кожен закон логiки буде еквiвалентний цiй константi T.

Закон тотожностi A ⊃ A

Закон виключеного третього A ∨ A

Закон несуперечностi (A&A)

 

 

Закон подвiйного заперечення A ↔ A

Закони де Моргана (A&B) ↔ (A ∨ B)

(A ∨ B) ↔ (A&B)

Контрапозицiя (A ⊃ B) ↔ (B ⊃ A)

 

Комутативнiсть (A&B) ↔ (B&A)  (A ∨ B) ↔ (B ∨ A)

 

Дистрибутивнiсть (A ∨ (B&C)) ↔ ((A ∨ B) & (A