Загальна фізика. Частина 2. Магнетизм. Коливання і хвилі. Оптика. Елементи атомної фізики, квантової механіки і фізики твердого тіла. Фізика ядра та елементарних часток

 

Звідси амплітуда вимушених коливань

 . (5.45)

Проаналізуємо аналітично і графічно (рис. 5.7) залежність цієї величини від вимушуючої частоти  при різних значеннях коефіцієнту згасання β. Зокрема:

1) при ω → 0 А → А0 =  

2) при ω → ∞ А → 0

3) при ω → ω0; β = 0 А → ∞

Досягнення максимального значення амплітуди вимушених коливань, коли вимушуюча частота ω наближається до власної частоти ω0, називається резонансом.

Для знаходження резонансної частоти при   знайдемо мінімум підкореневого виразу рівняння (5.45). Для цього прирівняємо до нуля похідну від цього виразу по :

 .

Оскільки  , то знаменник (5.45) досягає мінімуму при

 .

Отже, резонансна частота

 .

Резонансна (максимальна) амплітуда досягає значення

 .

Зрозуміло, що резонанс тим гостріший, чим менший коефіцієнт затухання. На практиці слід враховувати явище резонансу, оскільки в техніці він в одних випадках відіграє позитивну роль, а в інших – негативну.

 

 

Хвиля – це процес поширення коливань у середовищі. Якщо коливання створити в деякій обмеженій частині середовища, то внаслідок наявності зв’язку між молекулами середовища коливання будуть охоплювати все середовище, тобто будуть поширюватись у середовищі.

Частинки середовища, в якій поширюється хвиля, не переносяться хвилею, вони лише здійснюють коливання навколо положення рівноваги. Хвилі, в яких частинки коливаються перпендикулярно до напрямку поширення хвилі, називаються поперечними. Хвилі, в яких частинки коливаються вздовж поширення хвилі, називаються поздовжніми. Поперечні хвилі поширюються в середовищах, де має місце деформація зсуву, тобто в твердих тілах. Поздовжні хвилі поширюються в середовищах, де має місце деформацію розтягу (розширення, стиску), тобто в газах, рідинах і твердих тілах.

Геометричне місце точок, до яких доходять коливання в момент часу t, називається фронтом хвилі. Геометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею. Фронт хвилі весь час переміщується, а хвильові поверхні залишаються нерухомими (хвильових поверхонь існує безліч). Хвильові поверхні можуть бути довільної форми. Найпростіші хвильові поверхні мають вигляд сфер або площин. Тоді такі хвилі називаються сферичними або плоскими. Сферичні хвилі поширюються від точкових джерел, плоскі – від протяжних джерел.

Встановимо рівняння плоскої хвилі, що поширюється вздовж осі x. Це рівняння повинно виражати залежність змінної фізичної величини  (наприклад, зміщення коливної точки) від координати x і часу t:

 .

Знайдемо вигляд ξ у випадку плоскої хвилі. Для спрощення вісь координат направимо вздовж напрямку поширення хвилі. Нехай точки джерела, що знаходиться при  , коливаються за законом

 .

До точки з координатою x (рис. 5.8) коливання прийдуть із запізненням на час

 ,

де v – фазова швидкість поширення хвилі, тобто швидкість переміщення фази хвилі. Тоді рівняння коливання в точці х буде мати вигляд

 . (5.46)

Це і є рівнянням плоскої хвилі, яке часто записують у формі

  (5.47)

де    – хвильове число,   – довжина хвилі.

Довжина хвилі λ – це шлях, який проходить хвиля за час, рівний періоду коливань, або відстань між найближчими точками, що коливаються в однаковій фазі (рис. 5.8). Відмітимо, що поняття плоскої хвилі передбачає постійність амплітуди, тобто нехтується поглинанням енергії середовищем.

Можна показати, що у випадку довільного напрямку поширення хвилі (наприклад, сферичної) рівняння хвилі має вигляд

 , (5.49)

де   – хвильовий вектор,   – одиничний вектор нормалі до хвильової поверхні,   – радіус-вектор хвильової поверхні ( ,   – орти).

У комплексній формі рівняння хвилі (5.49) можна записати як

 , (5.50)

де  ; такий запис полегшує математичні перетворення.

 

 

Хвильове рівняння – це диференціальне рівняння, розв’язком якого є рівняння хвилі. Для встановлення хвильового рівняння співставимо другі частинні похідні по координатах і часу від рівняння хвилі (5.50)

 .

Тоді:

 , (5.51)

  (5.52)

Просумуємо систему рівнянь (5.52):

 . (5.53)

Співставляючи (5.51) і (5.53), одержимо

 . (5.54)

Оскільки

 , (5.55)

то остаточно хвильове рівняння набуває вигляду

 . (5.56)

Ліву частину цього рівняння можна лаконічно записати, використовуючи оператор Лапласа   як суму других частинних похідних по х, у, z від функції цих змінних. Тоді хвильове рівняння матиме вигляд

 .

Для плоскої хвилі, що поширюється вздовж осі х, хвильове рівняння набуде вигляду 

 . (5.57)

Поширення коливань у пружному середовищі зумовлене поширенням деформації середовища під дією джерела хвилі. І тому швидкість поширення хвилі повинна визначатись пружними характеристиками середовища.

Зокрема, швидкість поздовжніх хвиль в твердих тілах

 , (5.58)

в рідинах і газах

 , (5.59)

де Е – модуль Юнга, K – модуль всебічного стиску.

Швидкість поперечних хвиль в твердих тілах

 

де G